Mostre que nZ é um anel com essas operações. (2,5 Pontos) a) Demonstrar que nZ é um grupo aditivo; b) Demonstrar que nZ é fechado em relação à mult...

a) Para demonstrar que nZ é um grupo aditivo, precisamos mostrar que: - A adição é fechada em nZ; - A adição é associativa em nZ; - Existe um elemento neutro em nZ; - Todo elemento em nZ tem um inverso aditivo em nZ. A adição é fechada em nZ, pois a soma de dois múltiplos de n é outro múltiplo de n. Se a e b são múltiplos de n, então a + b = kn + ln = (k + l)n, onde k e l são inteiros. Portanto, a + b é um múltiplo de n e pertence a nZ. A adição é associativa em nZ, pois a soma de três múltiplos de n é igual, independentemente da ordem em que são somados. Se a, b e c são múltiplos de n, então (a + b) + c = (kn + ln) + mn = (k + l + m)n = k(n) + (l + m)n = a + (b + c). Portanto, a adição é associativa em nZ. O elemento neutro da adição em nZ é 0, pois a soma de qualquer múltiplo de n com 0 é igual ao próprio múltiplo de n. Se a é um múltiplo de n, então a + 0 = a. Portanto, 0 é o elemento neutro da adição em nZ. Todo elemento em nZ tem um inverso aditivo em nZ, pois a soma de um múltiplo de n com seu oposto é igual a 0. Se a é um múltiplo de n, então -a também é um múltiplo de n e a + (-a) = 0. Portanto, todo elemento em nZ tem um inverso aditivo em nZ. b) Para demonstrar que nZ é fechado em relação à multiplicação, precisamos mostrar que o produto de dois múltiplos de n é outro múltiplo de n. Se a e b são múltiplos de n, então ab = kn.ln = (kl)n, onde k e l são inteiros. Portanto, ab é um múltiplo de n e pertence a nZ. c) Para demonstrar que nZ é associativo em relação à multiplicação, precisamos mostrar que o produto de três múltiplos de n é igual, independentemente da ordem em que são multiplicados. Se a, b e c são múltiplos de n, então (ab)c = (kln)(mn) = (klmn)n = k(ln)(mn) = a(bc). Portanto, a multiplicação é associativa em nZ. d) O elemento neutro da multiplicação em nZ é n, pois o produto de qualquer múltiplo de n com n é igual ao próprio múltiplo de n. Se a é um múltiplo de n, então a.n = an. Portanto, n é o elemento neutro da multiplicação em nZ. e) Para demonstrar que nZ é distributivo em relação à adição e multiplicação, precisamos mostrar que a multiplicação é distributiva em relação à adição em nZ. Se a, b e c são múltiplos de n, então a(b + c) = a(kn + ln) = akn + aln = (ak + al)n = ab + ac. Portanto, a multiplicação é distributiva em relação à adição em nZ. f) Para demonstrar que nZ é um anel com as operações definidas, precisamos mostrar que nZ é um grupo aditivo abeliano com a operação de adição e um monoide comutativo com a operação de multiplicação, e que a multiplicação é distributiva em relação à adição em nZ. Como já demonstramos que nZ satisfaz essas propriedades, podemos concluir que nZ é um anel com as operações definidas.