Exercício 4.9. Usando a de�nição, mostre que limx!1 x 2 = 1.

Para mostrar que limx!1 x² = 1, precisamos usar a definição de limite. Definição: Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L, e escrevemos limx!a f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε. Agora, vamos aplicar essa definição ao limite limx!1 x² = 1. Dado ε > 0, precisamos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x - 1| < δ, então |x² - 1| < ε. Observe que: |x² - 1| = |x - 1||x + 1| Podemos escolher δ = ε/(2 + |1|) = ε/3. Então, se 0 < |x - 1| < δ, temos: |x² - 1| = |x - 1||x + 1| < δ|x + 1| < ε/3 * (2 + 1) = ε Portanto, mostramos que limx!1 x² = 1.