22. (Enem PPL 2014) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço d...

Para encontrar a altura máxima do pião, precisamos maximizar o volume total do pião. O volume total do pião é a soma dos volumes da semiesfera e do cone. O volume da semiesfera é dado por V1 = (2/3)πr³, onde r é o raio da semiesfera. Como o diâmetro do cilindro é 8 cm, o raio é 4 cm. Portanto, V1 = (2/3) x 3 x 4³ = 32π/3. O volume do cone é dado por V2 = (1/3)Sh, onde S é a área da base do cone e h é a altura do cone. Como o vértice do cone deve coincidir com o centro da base do cilindro, o raio da base do cone é igual ao raio do cilindro, ou seja, 4 cm. Portanto, S = πr² = 16π. A altura do cone é 4 cm. Portanto, V2 = (1/3) x 16π x 4 = 64π/3. Assim, o volume total do pião é V = V1 + V2 = 32π/3 + 64π/3 = 96π/3 = 32π. Para minimizar a quantidade de madeira a ser descartada, precisamos maximizar a altura do pião. O volume do cilindro é dado por V3 = Sh, onde S é a área da base do cilindro e h é a altura do cilindro. Como o diâmetro do cilindro é 8 cm, o raio é 4 cm. Portanto, S = πr² = 16π. A altura do cilindro é h = 22 - 4 = 18 cm. Portanto, V3 = 16π x 18 = 288π. A altura do pião é dada por h = 2r + 4, onde r é o raio da semiesfera. Como o volume total do pião é V = 32π, temos: (2/3)πr³ + (1/3)Sh = 32π (2/3)πr³ + (1/3)πr²(18) = 32π 2r³ + 6r² = 144 r³ + 3r² - 72 = 0 (r - 6)(r² + 9r + 12) = 0 Como r deve ser positivo, temos r = 6 cm. Portanto, a altura do pião é h = 2r + 4 = 16 cm. A quantidade de madeira descartada é igual ao volume do cilindro original menos o volume do pião. Portanto, temos: V3 - V = 288π - 32π = 256π Aproximando π para 3, temos: 256π ≈ 768 Portanto, a quantidade de madeira descartada é de aproximadamente 768 cm³. Resposta: letra E) 99.