688. O maior valor inteiro de k para que a equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 seja uma circunferência é: a) 14 b) 13 c) 12 d) 10

Para que a equação x² + y² + 4x - 6y + k = 0 seja uma circunferência, precisamos completar o quadrado para x e y. x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 + k - 4 - 9 = 0 (x + 2)² + (y - 3)² + k - 13 = 0 (x + 2)² + (y - 3)² = 13 - k Sabemos que uma circunferência tem a forma (x - a)² + (y - b)² = r², onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio. Comparando com a equação acima, temos que o centro da circunferência é (-2, 3) e o raio é √(13 - k). Para que a equação seja uma circunferência, o raio deve ser maior que zero, ou seja, 13 - k > 0. Logo, k < 13. O maior valor inteiro de k que satisfaz essa condição é 12, portanto a alternativa correta é a letra c).