Vamos simplificar a expressão passo a passo: A expressão dada é: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{1} - \sqrt{2}} \] Primeiro, vamos simplificar os termos \( \frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{2}} \) e \( \frac{1}{2\sqrt{1} - \sqrt{2}} \). Para isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo conjugado do denominador. 1. Para \( \frac{1}{2 + \sqrt{2}} \): Multiplicando pelo conjugado: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. Para \( \frac{1}{2 - \sqrt{2}} \): Multiplicando pelo conjugado: \[ \frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \] Agora, somamos os resultados: \[ \frac{1}{2} + \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] Isso se simplifica para: \[ \frac{1}{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Portanto, a resposta correta é: e) \( \frac{5}{2} \)