49. UFMS O resto da divisão de p(x) = x3 + 2x2 + mx + n por x – 2 é 14, onde m e n são números reais. Se uma das raízes de p(x) é 1, então é corret...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio p(x) por x-a é igual a p(a). Sabemos que o resto da divisão de p(x) por x-2 é 14, então temos: p(2) = 14 (2)^3 + 2(2)^2 + m(2) + n = 14 8 + 8m + n = 14 8m + n = 6 (1) Também sabemos que uma das raízes de p(x) é 1, então temos: p(1) = 0 (1)^3 + 2(1)^2 + m(1) + n = 0 1 + 2 + m + n = 0 m + n = -3 (2) Agora podemos utilizar o sistema formado pelas equações (1) e (2) para encontrar os valores de m e n. m + n = -3 (2) 8m + n = 6 (1) Multiplicando a equação (2) por -1, temos: -m - n = 3 Somando essa equação com a equação (1), temos: 7m = 9 Logo, m = 9/7. Substituindo esse valor na equação (1), temos: 8(9/7) + n = 6 n = -10/7 Portanto, temos que m = 9/7 e n = -10/7. Agora podemos verificar quais das alternativas são verdadeiras: (01) m + n = -3 -> 9/7 - 10/7 = -1/7, incorreta (02) n = 2 -> -10/7 ≠ 2, incorreta (04) m - n = 5 -> 9/7 + 10/7 = 19/7 ≠ 5, incorreta (08) mn = 1 -> (9/7)(-10/7) = -90/49 ≠ 1, incorreta (16) m = 1 -> 9/7 ≠ 1, incorreta Portanto, nenhuma das alternativas é verdadeira. A resposta é 0.