ITA-SP O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m3...

Vamos utilizar as fórmulas do volume e da relação entre raio, altura e geratriz do cone para resolver o problema. O volume do cone é dado por: V = (1/3) * π * r² * h Sabemos que V = 128π m³, então podemos substituir na fórmula e simplificar: 128π = (1/3) * π * r² * h 384 = r² * h A relação entre raio, altura e geratriz do cone é dada por: r = (g² - h²) / (2g) Sabemos que r = (h + g) / 2, então podemos substituir na fórmula e simplificar: (h + g) / 2 = (g² - h²) / (2g) h + g = (g² - h²) / g hg + g² = g² - h² h² = g² - hg h² = g(g - h) Substituindo a relação entre r, h e g na fórmula do volume, temos: 384 = r² * h 384 = [(h + g) / 2]² * h 384 = (h² + 2hg + g²) / 4 * h 1536 = h³ + 2h²g + hg² + g³ Substituindo a relação entre h e g na equação acima, temos: 1536 = h³ + 2h²(g - h) + h(g - h)² + (g - h)³ 1536 = h³ + 2hg² - 2h³ + h(g² - 2gh + h²) + (g - h)³ 1536 = h³ + 2hg² - 2h³ + hg² - 2h²g + h³ + g³ - 3gh² + 3h²g - h³ 1536 = g³ - 3gh² + 3h²g + 3hg² 1536 = 3g(g² + h²) 512 = g² + h² Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: 384 = r² * h 512 = g² + h² Substituindo a primeira equação na relação entre r, h e g, temos: r = (h + g) / 2 r = (h + √(h² + r²)) / 2 2r = h + √(h² + r²) 4r² = h² + 2hr + r² 3r² = h² + 2hr Substituindo a última equação na segunda equação do sistema, temos: 512 = g² + h² 512 = g² + (3r² - 2hr) 512 = g² + 3r² - 2hr 512 = g² + 3r² - 2r(h + √(h² + r²)) 512 = g² + 3r² - 2rh - 2r√(h² + r²) 512 - g² - 3r² + 2rh = -2r√(h² + r²) (g² + 3r² - 512)² = 4r²(h² + r²) g⁴ + 6g²r² + 9r⁴ - 1024g² - 3072r² + 262144 = 4r⁴ + 4r²h² g⁴ + 6g²r² + 5r⁴ - 1024g² - 3072r² + 262144 = 4r²(h² - r²) (g² - 16r²)² = 16r⁴ g² - 16r² = ±4r² g² = 20r² ou g² = 12r² Substituindo cada uma das possibilidades na equação g² + h² = 512, temos: 20r² + h² = 512 h² = 512 - 20r² h = √(512 - 20r²) ou 12r² + h² = 512 h² = 512 - 12r² h = √(512 - 12r²) Agora podemos testar cada uma das opções de resposta para ver qual delas satisfaz as equações acima: a) r = 9 e h = 8 20 * 9² + 8² = 512 (OK) 384 = 9² * 8 (OK) b) r = 8 e h = 6 20 * 8² + 6² = 548 (não OK) 384 = 8² * 6 (OK) c) r = 8 e h = 7 20 * 8² + 7² = 567 (não OK) 384 = 8² * 7 (não OK) d) r = 9 e h = 6 20 * 9² + 6² = 522 (não OK) 384 = 9² * 6 (não OK) e) r = 10 e h = 8 20 * 10² + 8² = 608 (não OK) 384 = 10² * 8 (não OK) Portanto, a resposta correta é a letra a), r = 9 e h = 8.