4. Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0) = 1, y′(0) = 0. (a) 4y′′ − y = xex/2 (b) y...

Para resolver a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Encontre a solução geral da equação homogênea correspondente, que é obtida ao igualar o lado direito da equação a zero. Para a equação (a), a equação homogênea correspondente é 4y'' - y = 0, cuja solução geral é yh(x) = c1e^(x/2) + c2e^(-x/2). 2. Encontre duas soluções particulares da equação não homogênea, que são multiplicadas por funções desconhecidas u1(x) e u2(x). Para a equação (a), as soluções particulares são yp1(x) = (1/3)xex/2 e yp2(x) = -(1/12)ex/2. 3. Escreva a solução geral da equação não homogênea como y(x) = yh(x) + u1(x)yp1(x) + u2(x)yp2(x). 4. Encontre as derivadas de y(x) e substitua na equação diferencial original, obtendo uma equação para as funções u1(x) e u2(x). 5. Resolva o sistema de equações para u1(x) e u2(x). 6. Substitua os valores encontrados para u1(x) e u2(x) na solução geral da equação não homogênea. Para a equação (a), a solução geral é y(x) = c1e^(x/2) + c2e^(-x/2) + (1/3)xex/2 - (1/12)ex/2. Usando as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0, obtemos o sistema de equações c1 + c2 + 1/3 - 1/12 = 1 e c1/2 - c2/2 + 1/3/2 - 1/12/2 = 0. Resolvendo o sistema, encontramos c1 = 5/6 e c2 = 1/6. Portanto, a solução da equação diferencial é y(x) = (5/6)e^(x/2) + (1/6)e^(-x/2) + (1/3)xex/2 - (1/12)ex/2.