Seja X ⊂ R um conjunto compacto cujos pontos, com excess˜ao de a := inf X e b := sup X, s˜ ao pontos de acumula¸c˜ ao ` a direita e ` a esquerda. ...

Para provar que X = [a,b] ou X = {a,b}, precisamos mostrar que X está contido em [a,b] e que [a,b] está contido em X. Primeiro, vamos mostrar que X está contido em [a,b]. Como a é o ínfimo de X, temos que a ≤ x para todo x ∈ X. Da mesma forma, como b é o supremo de X, temos que x ≤ b para todo x ∈ X. Portanto, X está contido no intervalo fechado [a,b]. Agora, vamos mostrar que [a,b] está contido em X. Suponha por contradição que existe um ponto c ∈ (a,b) tal que c ∉ X. Como c não é um ponto de acumulação de X, existe um intervalo aberto (d,e) contendo c tal que (d,e) ∩ X = {c}. Sem perda de generalidade, podemos assumir que d < c < e. Como X é compacto, podemos escolher um número finito de pontos x1, x2, ..., xn ∈ X que cobrem o intervalo [a,d] e um número finito de pontos y1, y2, ..., ym ∈ X que cobrem o intervalo [e,b]. Portanto, X ⊆ {x1, x2, ..., xn, c, y1, y2, ..., ym}. No entanto, isso implica que X tem pelo menos n + m + 1 elementos, o que é uma contradição, pois X é compacto e, portanto, finito. Portanto, não pode existir um ponto c ∈ (a,b) tal que c ∉ X, o que significa que [a,b] está contido em X. Concluímos que X = [a,b] ou X = {a,b}.