Exercício 42 – (UDESC, 2020) Se as circunferências (???? − ????)2 + (???? − 2)2 = 5 e (???? − 6)2 + (???? − ????)2 = 11,25 são tangentes exteriores no ponto (3...

Para resolver esse exercício, podemos utilizar o fato de que as circunferências são tangentes exteriores no ponto (3,3). Isso significa que a distância entre os centros das circunferências é igual à soma dos raios. Assim, podemos escrever o seguinte sistema de equações: (x - y)² + (y - 2)² = 5 (x - 6)² + (y - x)² = 11,25 (x - 3)² + (y - 3)² = (raio1 + raio2)² Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (x - 6)² + (y - x)² = (x - y)² + (y - 2)² + 5 Expandindo as expressões, temos: x² - 12x + 36 + y² - 2xy + x² = x² - 2xy + y² - 4y + 9 + 5 Simplificando, temos: 2x² - 10x - 2y² + 2y - 20 = 0 Dividindo tudo por 2, temos: x² - 5x - y² + y - 10 = 0 Agora, podemos utilizar o fato de que as circunferências são tangentes no ponto (3,3), ou seja, esse ponto pertence às duas circunferências. Substituindo x = 3 e y = 3 na primeira equação, temos: (3 - a)² + (3 - 2)² = 5 (a - 3)² + (3 - b)² = 11,25 Resolvendo essas equações, encontramos a = 1 e b = 5. Substituindo esses valores na equação do raio, temos: (x - 1)² + (y - 5)² = (2 + √5)² Agora, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para encontrar a soma dos raios: (3 - 1)² + (3 - 5)² = 8 √8 = 2√2 Assim, a + b = 1 + 5 = 6, e a alternativa correta é a letra E) 13/2.