84. A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um α e o outro 2α. A razão entre o lado menor e o maior do ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a lei dos cossenos. Seja ABCD um paralelogramo, com AB > BC. Seja E o ponto de interseção da diagonal AC com a diagonal BD. Temos que o ângulo interno AEB é igual a α + 2α = 3α. Além disso, temos que: AE² + BE² - 2AE.BE.cos(3α) = AB² Como AB = CD e BC = AD, temos que AB = CD > BC = AD. Logo, AE < BE. Além disso, como o ângulo AEB é agudo, temos que cos(3α) < 0. Portanto, temos que: AE² + BE² < AB² Dividindo ambos os lados por BE², temos que: (AE/BE)² + 1 < (AB/BE)² Como AE/BE = sen(α) e AB/BE = cos(α), temos que: sen²(α) + 1 < cos²(α) Dividindo ambos os lados por cos²(α), temos que: tg²(α) + 1/cos²(α) < 1 Multiplicando ambos os lados por cos²(α), temos que: tg²(α) < cos²(α) - 1 Usando a identidade trigonométrica cos²(α) - sen²(α) = cos(2α), temos que: tg²(α) < -sen²(α) Como sen²(α) > 0, temos que tg²(α) < 0, ou seja, tg(α) é negativo. Portanto, a alternativa correta é a letra D) 1/(2 cos ????).