(Ita) Seja ???? o conjunto de todos os polinômios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1. a) Determine...

a) Para determinar o número de elementos de ???? podemos pensar em quantas escolhas temos para os coeficientes iguais a 2 e para os coeficientes iguais a 1. Temos 3 coeficientes iguais a 2 e 2 coeficientes iguais a 1. Podemos escolher os coeficientes iguais a 2 de 5 maneiras diferentes (escolhendo 3 posições entre as 5 disponíveis) e os coeficientes iguais a 1 de 2 maneiras diferentes (as posições restantes). Portanto, o número de elementos de ???? é dado por 5 x 4 x 3 x 2 / 3 x 2 x 2 x 1 = 20. b) Para que um polinômio tenha −1 como uma de suas raízes, ele deve ter um fator (x + 1) em sua decomposição. Podemos escrever um polinômio em ???? como (2x + 2)(2x + 2)(2x + 2)(x + 1)(x + 1) ou (2x + 2)(2x + 2)(x + 1)(x + 1)(2x + 1), por exemplo. Portanto, o subconjunto de ???? formado pelos polinômios que têm −1 como uma de suas raízes é o conjunto de polinômios da forma (2x + 2)(2x + 2)(2x + 2)(x + 1)(x + 1) ou (2x + 2)(2x + 2)(x + 1)(x + 1)(2x + 1).