17. (Unesp) Considere as matrizes reais 2x2 do tipo a) Calcule o produto A(x).A(x). b) Determine todos os valores de xÆ[0,2™] para os quais A(x).A(...

a) Para calcular o produto A(x).A(x), basta multiplicar as matrizes termo a termo e somar os resultados. Temos: A(x).A(x) = [ 1 x ] [ 0 1 ] . [ 1 x ] [ 1 x ] [ 0 1 ] A(x).A(x) = [ 1.x+0.1 1.x+x ] [ 0.x+1 0.x+1 ] A(x).A(x) = [ x+1 2x ] [ 1 1 ] b) Para A(x).A(x) = A(x), precisamos encontrar a matriz A(x) que satisfaz essa igualdade. Temos: A(x).A(x) = [ x+1 2x ] [ 1 1 ] A(x) = [ a b ] [ c d ] A(x).A(x) = [ a.x+c b.x+d ] [ c d ] Igualando as matrizes, temos: a.x+c = x+1 b.x+d = 2x c = 1 d = 1 Substituindo c e d nas duas primeiras equações, temos: a.x+1 = x+1 b.x+1 = 2x Resolvendo essas equações, encontramos: a = 1 b = 1 Portanto, a matriz A(x) que satisfaz A(x).A(x) = A(x) é: A(x) = [ 1 1 ] [ 1 1 ] Para x = 0 ou x = 2, temos: A(0) = [ 1 0 ] [ 0 1 ] A(2) = [ 1 2 ] [ 1 1 ] Para x = 1, temos: A(1) = [ 1 1 ] [ 1 1 ] Portanto, os valores de x que satisfazem A(x).A(x) = A(x) são x = 0, x = 1 e x = 2.