Exercício 25 – (ITA, 2018) Se log2 ???? = ???? e log5 ???? = ????, então: a) 1???? + 1???? ≤ 1???? b) 1???? < 1???? + 1???? ≤ 1 c) 1 < 1???? + 1???? ≤ 3 d) 3 < 1???? + 1???? ...

Para resolver esse exercício, precisamos utilizar as propriedades dos logaritmos. Sabemos que log2 ???? = ???? e log5 ???? = ????, então podemos escrever: 2^???? = ???? 5^???? = ???? Agora, vamos trabalhar com as alternativas: a) 1???? + 1???? ≤ 1???? Podemos escrever 1???? + 1???? como log2(????) + log5(????). Utilizando a propriedade do logaritmo de produto, temos que log2(????) + log5(????) = log10(2^???? * 5^????) = log10(???? * ????). Portanto, a alternativa a) fica log10(???? * ???? ) ≤ 1????. Como log10(???? * ????) = log10(2^???? * 5^????) = ???? + ???? , temos que ???? + ???? ≤ 1????. Essa desigualdade não é verdadeira, pois ???? e ???? podem ser números grandes o suficiente para que a soma seja maior que 1. Portanto, a alternativa a) está incorreta. b) 1???? < 1???? + 1???? ≤ 1 Podemos escrever 1???? + 1???? como log2(????) + log5(????). Utilizando a propriedade do logaritmo de produto, temos que log2(????) + log5(????) = log10(2^???? * 5^????) = log10(???? * ????). Portanto, a alternativa b) fica log10(???? * ???? ) ≤ 1 e log10(???? * ???? ) > 1????. Como log10(???? * ????) = log10(2^???? * 5^????) = ???? + ????, temos que ???? + ???? ≤ 1 e ???? + ???? > 1. Essa desigualdade é verdadeira, pois ???? e ???? podem ser números pequenos o suficiente para que a soma seja menor que 1. Portanto, a alternativa b) está correta. c) 1 < 1???? + 1???? ≤ 3 Podemos escrever 1???? + 1???? como log2(????) + log5(????). Utilizando a propriedade do logaritmo de produto, temos que log2(????) + log5(????) = log10(2^???? * 5^????) = log10(???? * ????). Portanto, a alternativa c) fica log10(???? * ???? ) > 1 e log10(???? * ???? ) ≤ 3. Como log10(???? * ????) = log10(2^???? * 5^????) = ???? + ????, temos que ???? + ???? > 1 e ???? + ???? ≤ 3. Essa desigualdade é verdadeira, pois ???? e ???? podem ser números pequenos o suficiente para que a soma seja menor que 1 e a soma seja menor que 3. Portanto, a alternativa c) está correta. d) 3 < 1???? + 1???? ≤ 2 Podemos escrever 1???? + 1???? como log2(????) + log5(????). Utilizando a propriedade do logaritmo de produto, temos que log2(????) + log5(????) = log10(2^???? * 5^????) = log10(???? * ????). Portanto, a alternativa d) fica log10(???? * ???? ) > 3 e log10(???? * ???? ) ≤ 2. Como log10(???? * ????) = log10(2^???? * 5^????) = ???? + ????, temos que ???? + ???? > 3 e ???? + ???? ≤ 2. Essa desigualdade não é verdadeira, pois ???? e ???? podem ser números pequenos o suficiente para que a soma seja menor que 3 e a soma seja maior que 2. Portanto, a alternativa d) está incorreta. e) 2 < 1???? + 1???? Podemos escrever 1???? + 1???? como log2(????) + log5(????). Utilizando a propriedade do logaritmo de produto, temos que log2(????) + log5(????) = log10(2^???? * 5^????) = log10(???? * ????). Portanto, a alternativa e) fica log10(???? * ???? ) > 2. Como log10(???? * ????) = log10(2^???? * 5^????) = ???? + ????, temos que ???? + ???? > 2. Essa desigualdade é verdadeira, pois ???? e ???? podem ser números pequenos o suficiente para que a soma seja maior que 2. Portanto, a alternativa e) está correta. Portanto, a resposta correta é a alternativa e).