Exercício 42 – (UDESC, 2020) Se as circunferências (???? − ????)2 + (???? − 2)2 = 5 e (???? − 6)2 + (???? − ????)2 = 11,25 são tangentes exteriores no ponto (3...

Para resolver esse exercício, podemos utilizar o fato de que as circunferências são tangentes externas no ponto (3,3). Isso significa que a distância entre os centros das circunferências é igual à soma dos raios. Assim, podemos escrever o seguinte sistema de equações: (x - y)² + (y - 2)² = 5 (x - 6)² + (y - x)² = 11,25 (x - 3)² + (y - 3)² = (raio1 + raio2)² Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (x - 6)² + (y - x)² = 5 + 2y - 4x Isolando y na segunda equação, temos: y = (x² - 6x + 11,25)/(2x - 4) Substituindo y na primeira equação, temos: (x - (x² - 6x + 11,25)/(2x - 4))² + ((x² - 6x + 11,25)/(2x - 4) - 2)² = 5 Simplificando essa equação, chegamos a: -3x⁴ + 32x³ - 81x² + 100x - 45 = 0 Podemos fatorar essa equação e encontrar as raízes: (x - 5)(x - 1)(3x² - 11x + 9) = 0 As raízes são x = 5, x = 1, x = (11 ± √7)/6. Substituindo esses valores na equação y = (x² - 6x + 11,25)/(2x - 4), encontramos as coordenadas dos centros das circunferências. Agora, podemos calcular a distância entre os centros e somar os raios para encontrar o valor de a + b: d = √[(5 - (11 + √7)/6)² + ((11 + √7)/6 - 1)²] = √(7/3) a + b = d + √5 + √11,25 = √(7/3) + √5 + 3/2 = 19/2 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 19/2.