A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de ∭ E x 2 d V , sabendo que E compreende...

Para calcular o volume de ∭ E x² dV, onde E é a região contida dentro do cilindro x² + y² = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z² = 4x² + 4y², podemos utilizar a integração tripla. Primeiro, vamos determinar os limites de integração para cada variável. Como a região E é simétrica em relação ao plano xy, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. Assim, temos: 0 ≤ θ ≤ 2π (variação angular completa) 0 ≤ r ≤ 1 (raio do cilindro) 0 ≤ z ≤ 2√(x² + y²) = 2r (equação do cone) Agora, vamos escrever a integral tripla para calcular o volume: V = ∭ E x² dV = ∫₀²π ∫₀¹ ∫₀²r (r² cos² θ) r dz dr dθ Resolvendo as integrais, temos: V = ∫₀²π ∫₀¹ ∫₀²r (r³ cos² θ) dz dr dθ V = ∫₀²π ∫₀¹ (r⁴ cos² θ) dr dθ V = ∫₀²π [(1/5) r⁵ cos² θ]₀¹ dθ V = (1/5) ∫₀²π cos² θ dθ ∫₀¹ r⁵ dr V = (1/5) π/2 [(2/3) r³]₀¹ V = (1/15) π Portanto, o volume de E é (1/15) π.