02. Quantos números naturais de 10 algarismos existem, compostos só por 1, 2 e 3, em que cada dois algarismos vizinhos diferem de uma unidade? a) 1...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos contar quantos números de 10 algarismos podemos formar com os dígitos 1, 2 e 3, sem restrições. Temos 3 opções para cada um dos 10 algarismos, então o número total de possibilidades é 3^10. Agora, vamos subtrair os números que não atendem à restrição de que cada dois algarismos vizinhos diferem de uma unidade. Podemos construir esses números começando com 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 54, 56, 65, 67, 76, 78, 87, 89 ou 98. Para cada um desses casos, temos duas opções para o primeiro algarismo e uma opção para cada um dos algarismos subsequentes, exceto para o último algarismo, que tem duas opções. Portanto, o número de números de 10 algarismos compostos por 1, 2 e 3, em que cada dois algarismos vizinhos diferem de uma unidade, é: 3^10 - 2 x 1 x 3^8 + 2 x 2 x 3^7 = 64 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 64.