Derive a 3ª Lei de Kepler do movimento planetário a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton considerando órbitas circulares.

A terceira lei de Kepler estabelece que o quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao cubo do raio médio da órbita. Para derivar essa lei a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton, considerando órbitas circulares, podemos seguir os seguintes passos: 1. Igualar a força gravitacional à força centrípeta que age sobre o planeta em órbita circular em torno do Sol: F_grav = F_centrípeta 2. Substituir as expressões para essas forças: G * M * m / r^2 = m * v^2 / r onde G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol, m é a massa do planeta, r é o raio da órbita e v é a velocidade orbital. 3. Isolar v^2: v^2 = G * M / r 4. Substituir a expressão para a velocidade orbital na equação para o período orbital: T^2 = 4 * pi^2 * r^3 / (G * M) 5. Simplificar a equação: T^2 / r^3 = 4 * pi^2 / (G * M) 6. Concluir que a relação entre o período orbital e o raio médio da órbita é proporcional ao cubo desse raio: T^2 ∝ r^3 Portanto, a terceira lei de Kepler é derivada a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton considerando órbitas circulares.