Considere o polinômio 3x^2 + 4x - 5mx + 3x^3. Sabendo que o resto da divisão de P pelo monômio x^2 + 1 é 7, determine o valor de m. a) 0 b) 15 c) ...

Para encontrar o valor de m, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo x - a é igual a P(a). No caso, o polinômio divisor é x^2 + 1, que não é do tipo x - a. No entanto, podemos reescrevê-lo como (x - i)(x + i), onde i é a unidade imaginária. Assim, podemos dividir o polinômio P(x) por cada um dos fatores (x - i) e (x + i) separadamente e depois somar os restos. Dividindo P(x) por (x - i), temos: (3x^3 - 5mx + 3x^2 + 4x) : (x - i) = 3x^2 + (3i - 5m)x - 3ix + 4 O resto da divisão é dado por P(i) = 3i^2 + (3i - 5m)i - 3i + 4 = -5mi + 3 + 4i. Dividindo P(x) por (x + i), temos: (3x^3 - 5mx + 3x^2 + 4x) : (x + i) = 3x^2 + (-3i - 5m)x - 3ix + 4 O resto da divisão é dado por P(-i) = 3(-i)^2 + (-3i - 5m)(-i) + 3i + 4 = -5mi + 3 - 4i. Somando os dois restos, temos: P(i) + P(-i) = (-10mi + 6) + 7i Sabemos que esse valor é igual a 7, então: -10mi + 6 = 0 m = 0,6 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 0.