Questão 4. Encontre uma função f e um número real a tais que 6 + ∫ x a f(t) t2 dt = 2 √ x, para todo x > 0. Solução: Usando o Teorema Fundamental...

Questão 4. Encontre uma função f e um número real a tais que

6 +
∫ x
a
f(t)
t2
dt = 2
√
x, para todo x > 0.

Solução: Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, derivamos ambos os lados da

igualdade fornecida e obtemos
f(x)
x2
=

1√
x
=⇒ f(x) = x3/2.

Substituindo essa expressão para f no integrando e calculando a igualdade em
x = 1, resulta:

6 +
∫ 1
a
t3/2
t2
dt = 2

6 +
∫ 1
a
t−1/2dt = 2

6 + 2t1/2
∣∣1
a
= 2

6 + 2− 2
√
a = 2

a = 9.

Assim, vemos que uma condição necessária para que a igualdade seja válida para
todo x > 0 é que a = 9. Para verificarmos que isto também é suficiente, temos:

6 +
∫ x
9
t3/2
t2
dt = 6 +
∫ x
9
t−1/2dt

= 6 + 2t1/2
∣∣x
9

= 6 + 2
√
x− 6

= 2
√
x.