Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência Σ ∞ 1 (x−5)k(k+1)! ∞ e (−∞,∞) 0 e [5] 0 e [−5] 1 e (1,5) ∞ e [5]

A série de potência dada é Σ ∞ 1 (x−5)k(k+1)!, onde k começa em 0. Para determinar o raio de convergência, podemos usar o teste da razão: lim |(x-5)^(k+1)(k+2)!/(x-5)^k(k+1)!| = lim |(k+2)/(x-5)| = ∞ Portanto, o raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge para todos os valores de x. Para determinar o intervalo de convergência, podemos usar o teste da série alternada, já que a série é uma série de potência alternada. Nesse caso, temos que verificar se a sequência {an} = {1/(x-5)^(k+1)(k+2)!} é decrescente e tende a zero quando k tende ao infinito. Para x = 5, a série se torna Σ ∞ 0 0, que é uma série convergente. Para x = -5, a série se torna Σ ∞ 1 (-1)^k/(k+1)!, que é a série alternada de convergência conhecida igual a ln(2). Portanto, o intervalo de convergência é [-5, 5].