Considere as funções dadas por y = ax2 e y = -x2 + 1. Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos se interceptam o...

Para que os gráficos se interceptem ortogonalmente, as retas tangentes aos gráficos devem ser perpendiculares no ponto de interseção. Primeiramente, precisamos encontrar o ponto de interseção das duas funções. Igualando as duas funções, temos: ax² = -x² + 1 Somando x² em ambos os lados, temos: (a-1)x² = 1 Portanto, x² = 1/(a-1) Substituindo x² na primeira equação, temos: y = ax² = a/(a-1) Assim, o ponto de interseção é (1/(a-1), a/(a-1)). Agora, precisamos encontrar as retas tangentes aos gráficos nesse ponto de interseção. A derivada da primeira função é: y' = 2ax A derivada da segunda função é: y' = -2x Substituindo x = 1/(a-1), temos: y'1 = 2a/(a-1) y'2 = -2/(a-1) As retas tangentes aos gráficos nesse ponto de interseção são: y - a/(a-1) = (2a/(a-1))(x - 1/(a-1)) (para a primeira função) y - a/(a-1) = (-2/(a-1))(x - 1/(a-1)) (para a segunda função) Para que essas retas sejam perpendiculares, seus coeficientes angulares devem ser negativos e inversos um do outro. Portanto, temos: 2a/(a-1) = -1/(-2/(a-1)) Simplificando, temos: 2a/(a-1) = 2a-2 2a = (a-1)(2a-2) 2a = 2a² - 4a + 2 2a² - 6a + 2 = 0 a² - 3a + 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: a = (3 ± √5)/2 Portanto, as funções se interceptam ortogonalmente nos pontos (1/(a-1), a/(a-1)) para a = (3 + √5)/2 e a = (3 - √5)/2.