EXEMPLO 3. Esboce o gráfico de Solução Df = {x ∈ ℝ | x ≠ ±1}. Intervalos de crescimento e de decrescimento. Concavidade e pontos de inflexão. 9.5....

Para esboçar o gráfico da função f(x) = 1/(x²-1), é necessário seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de x que tornam o denominador igual a zero. Nesse caso, temos x = -1 e x = 1. 2. Determinar o domínio da função, que é Df = {x ∈ ℝ | x ≠ ±1}. 3. Analisar o sinal da função em cada intervalo do domínio. Para isso, podemos construir uma tabela de sinais: | x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |-----------|------|------|-----|------| | f(x) | + | - | - | + | Portanto, a função é positiva no intervalo (-∞, -1) e no intervalo (1, +∞), e negativa no intervalo (-1, 1). 4. Encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função. Para isso, podemos calcular a primeira derivada da função: f'(x) = -2x/(x²-1)² Igualando a derivada a zero, temos: -2x/(x²-1)² = 0 Logo, x = 0. Esse é um ponto de inflexão da função. 5. Determinar a concavidade da função em cada intervalo do domínio. Para isso, podemos calcular a segunda derivada da função: f''(x) = 2(x²+1)/(x²-1)³ Analisando o sinal da segunda derivada em cada intervalo, temos: | x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | |-----------|------|------|-----|-----|------| | f''(x) | + | - | + | - | + | Portanto, a função é côncava para cima no intervalo (-∞, -1) e no intervalo (1, +∞), e côncava para baixo no intervalo (-1, 0) e no intervalo (0, 1). 6. Esboçar o gráfico da função, levando em conta as informações obtidas nos passos anteriores. O gráfico deve ter um assíntota vertical em x = -1 e em x = 1, e um ponto de inflexão em x = 0. Além disso, a função é positiva nos intervalos (-∞, -1) e (1, +∞), e negativa no intervalo (-1, 1). A concavidade da função muda nos pontos de inflexão, ou seja, a função é côncava para cima nos intervalos (-∞, -1) e (1, +∞), e côncava para baixo nos intervalos (-1, 0) e (0, 1).