41. (Ita) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é: a) (...

Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação fundamental do cone circular reto, que é dada por: h² = r² + g² Onde: h = altura r = raio da base g = geratriz Sabemos que a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz, ou seja: h = √(r x g) Substituindo na relação fundamental, temos: (r x g) = r² + g² r² - (r x g) + g² = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: r = [g ± √(g² - 4 x 1 x g²)] / 2 r = [g ± √(-3g²)] / 2 r = [g ± ig√3] / 2 Como a razão entre a altura e o raio da base é dada por h/r, temos: h/r = √(r x g) / r h/r = √(g) h/r = √(r² + g²) / r h/r = √(1 + (g/r)²) Substituindo g/r por (1 + √5)/2 (que é o valor encontrado para g/r), temos: h/r = √(1 + [(1 + √5)/2]²) h/r = √(1 + 1 + √5 + 5/4) h/r = √(9/4 + √5) h/r = √[(9 + 4√5)/4] h/r = √(9 + 4√5) / 2 Portanto, a alternativa correta é a letra E) Ë[(1 + Ë5) / 2].