8. (G1 - cp2) Juliana recortou de uma tira de cartolina retangular seis triângulos retângulos idênticos, em que um dos catetos mede 3 cm (figura 1)...

a) Para encontrar a medida do ângulo interno do hexágono menor, é necessário saber que a soma dos ângulos internos de um hexágono regular é igual a 720 graus. Como o hexágono menor é formado por seis triângulos retângulos idênticos, cada um com um ângulo reto de 90 graus e um ângulo agudo de x graus e outro de y graus, temos que: x + y + 90 + x + y + 90 = 720 2x + 2y + 180 = 720 2x + 2y = 540 x + y = 270/2 x + y = 135 Portanto, a medida do ângulo interno do hexágono menor é de 135 graus. b) Cada triângulo retângulo tem um ângulo reto de 90 graus e um cateto de 3 cm. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida da hipotenusa de cada triângulo: h² = 3² + y² h² = 9 + y² h = √(9 + y²) Como os triângulos são idênticos, a medida da hipotenusa é a mesma para todos. Além disso, a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é sempre igual a 90 graus. Portanto, temos: x + y = 90 x + (arctan(3/y)*180/π) = 90 x = 90 - arctan(3/y)*180/π Substituindo o valor de x em x + y = 90, temos: (90 - arctan(3/y)*180/π) + y = 90 y - arctan(3/y)*180/π = 0 arctan(3/y)*180/π = y 3/y = tan(y*π/180) y ≈ 19,47 graus x ≈ 70,53 graus Portanto, as medidas x e y dos ângulos dos triângulos retângulos são aproximadamente 70,53 graus e 19,47 graus, respectivamente. c) Cada lado do hexágono menor é igual à medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, ou seja, h = √(9 + y²). Substituindo o valor de y encontrado no item b, temos: h = √(9 + (3/tan(19,47*π/180))²) h ≈ 9,74 cm Como o hexágono menor tem seis lados iguais, o perímetro é dado por: P = 6h P ≈ 58,44 cm Portanto, a medida do perímetro do hexágono menor é de aproximadamente 58,44 cm.