Sejam p�(x), p‚(x) e pƒ(x) polinômios na variável real x de graus n�, n‚ e nƒ, respectivamente, com n�>n‚>nƒ. Sabe-se que p�(x) e p‚(x) são divisív...

A afirmativa correta é a letra (a) apenas (I) e (II) são verdadeiras. Como p�(x) e p‚(x) são divisíveis por pƒ(x), podemos escrever: p�(x) = k1(x) pƒ(x) p‚(x) = k2(x) pƒ(x) onde k1(x) e k2(x) são polinômios em x. Então, podemos escrever: r(x) = p�(x) - q(x) p‚(x) = k1(x) pƒ(x) - q(x) k2(x) pƒ(x) = (k1(x) - q(x) k2(x)) pƒ(x) onde q(x) é o quociente da divisão de p�(x) por p‚(x). Assim, r(x) é divisível por pƒ(x), o que torna a afirmativa (I) verdadeira. Para verificar a afirmativa (II), podemos escrever: p�(x) - 1/2 p‚(x) = k1(x) pƒ(x) - 1/2 k2(x) pƒ(x) = (2k1(x) - k2(x))/2 pƒ(x) Como 2k1(x) - k2(x) é um polinômio em x, a afirmativa (II) também é verdadeira. Já a afirmativa (III) é falsa, pois p•(x) r(x) = p•(x) (k1(x) - q(x) k2(x)) pƒ(x), que não necessariamente é divisível por [pƒ(x)]£.