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Matemática Aplicada

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A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1). 9x + 5.

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Testando o Conhecimento

há 2 anos

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Livro Texto Unidade II - UNIP - MATEMÁTICA APLICADA
54 pág.

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UNIFRAN

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há 2 anos

Para resolver essa questão, primeiro precisamos encontrar o valor de f(x). Podemos fazer isso substituindo x por x/2 na equação f(2x) = 3x + 1: f(x) = 3(x/2) + 1 f(x) = (3/2)x + 1 Agora podemos encontrar 2.f(3x + 1) substituindo x por (3x + 1)/2 na equação acima e multiplicando por 2: 2.f(3x + 1) = 2[(3/2)(3x + 1) + 1] 2.f(3x + 1) = 2(9/2)x + 2 2.f(3x + 1) = 9x + 5 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 9x + 5.

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Verifique, então, que após multiplicar os termos por (-1) temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação. x = -10/2 >> x = -5 Como o valor de x = -5, então V = {-5} Observação: O método de resolução de equações do 1º grau, no qual se colocam os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro, é apenas uma forma prática. Veja o que realmente ocorre: Repare: 2x + 4 = 8 Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x “separado”. Veja o que acontece: 2x + 4 - 4 = 8 - 4 2x = 4 x = 2 V={2} Saiba mais As equações do 1º grau que vimos neste item permitem resolver muitos problemas apresentados na vida cotidiana. Veja definições e exemplos em: . . . Acesso em: 13 nov. 2017. 5.2 Equações do 2º grau As equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação. 70 Unidade II Re vi sã o: E la in e - Di ag ra m aç ão: F ab io - 0 9/05/1 1 -| |- 2 ª R ev isã o: E la in e - Co rr eç ão: F ab io - 11/0 5/20 11 / / 3 ª R ev isã o - El ai ne - C or reç ão: M ár ci o - 23/0 5/ 20 11 Denominamos equação do 2º grau toda equação do tipo ax²+bx+c com coeficientes numéricos a, b e c com a ≠ 0. Exemplos: Equação a b c x²+4x+1 1 4 1 -2x²+3x-2 -2 3 -2 Observe a equação e os coeficientes a, b e c separados. As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. São chamadas de incompletas se um dos coeficientes (b ou c) for nulo. Resolução da equação do 2º grau incompleta: Caso 1: b=0 A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução: x²-9=0 ⇒ x²=9 ⇒ x= + 9 ⇒ x= +3 Note que o coeficiente b não está presente. Caso 2: c=0 A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução: x²-9x=0 basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 ⇒ x=0,9 Note que o coeficiente c não está presente. Caso 3: b=c=0 2x²=0 ⇒ x=0 Note que os coeficientes b e c não estão presentes. Resolução da equação do 2º grau completa: As equações do 2º grau completas são do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara. A fórmula quadrática de Bhaskara, Sridhara O fundamento usado para obter essa fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do 2º grau. 71 MATEMÁTICA APLICADA Re vi sã o: E la in e - Di ag ra m aç ão: F ab io - 0 9/05/1 1 -| |- 2 ª R ev isã o: E la in e - Co rr eç ão: F ab io - 11/0 5/20 11 / / 3 ª R ev isã o - El ai ne - C or reç ão: M ár ci o - 23/0 5/ 20 11 Seja a equação: a x² + b x + c = 0 com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos: x² + (b/a) x + c/a = 0 Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bhaskara: Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac Fatoramos o lado esquerdo e substituímos o lado direito (b²-4ac) por ∆(delta), temos então: (2ax+b)² = ∆ 2ax+b = ± ∆ 2ax=-b ± ∆ Temos então a fórmula de Bhaskara: x b a = − ± ∆ 2 x b b ac a = − ± −2 4 2 Vamos agora usar a fórmula de Bhaskara para resolver alguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 ∆ = b² - 4ac = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e 72 Unidade II Re vi sã o: E la in e - Di ag ra m aç ão: F ab io - 0 9/05/1 1 -| |- 2 ª R ev isã o: E la in e - Co rr eç ão: F ab io - 11/0 5/20 11 / / 3 ª R ev isã o - El ai ne - C or reç ão: M ár ci o - 23/0 5/ 20 11 Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 ∆ = b2 - 4ac = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Substituindo na fórmula de Bhaskara: » x=2 Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais (∆ = 0). 3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 ∆ = b2 - 4ac = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que ∆ < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: V = ∅ (conjunto vazio). As equações do segundo grau podem ser representadas no plano cartesiano. Essa representação tem a forma de uma parábola. Gráfico da função: Lembre-se: a é o coeficiente do x2 (ax2). Como podemos observar, a parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, depende o valor do coeficiente a.

Considere três funções f, g e h, tais que: A função f atribui a cada pessoa do mundo a sua idade. A função g atribui a cada país a sua capital. A função h atribui a cada número natural o seu dobro. Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:

a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma das alternativas anteriores

Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, para todo x ∈ R, pode-se afirmar que b/a é igual a:

a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3

O gráfico da função linear é uma reta não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano. Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito complexos podem ser representados, em primeira aproximação, por esse tipo de função, daí seu uso frequente em economia, gestão de recursos humanos, descrições de mercado etc. Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por y = a.x + b, sendo a e b constantes reais com a ≠ 0. Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos. A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y. A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da reta; quando a > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando a < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente. Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 1. Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes àquelas abscissas. Teremos: y1 = a . x1 + b y2 = a . x2 + b Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores e tendo em conta que x2 = x1 + 1, obtém-se o coeficiente angular a. Assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1, y1) e B (x2, y2), o coeficiente angular a é facilmente determinado. Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x0, y0) de uma reta e seu coeficiente angular a, a função correspondente é dada por y – y0 = a (x – x0). Ou seja: equação da reta y=a.(x - x0) + y0 Propriedades da função do 1º grau: 1. O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. 2. Na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim. 3. O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a. 4. O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), onde b é chamado coeficiente linear. 5. O valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 6. Se a > 0, então f é crescente. 7. Se a < 0, então f é decrescente. 8. Quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Qual é a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual é a expressão analítica ou a função que melhor se ajusta para os pontos (x; y)?

Qual é a previsão do custo total para dez unidades do produto?

Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de venda igual a R$ 120,00.

a) Determine o valor do X:
4x – 12 = 8
4x = 8 + 12
4x = 20
x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x?
2 – 3.(2 - 4x) = 8
2 – 6 + 12x = 8
12x = 8 - 2 + 6
12x = 6 + 6
x = 12/12
x = 1
V = {1}

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