Encontre os limites das funções abaixo: a) lim x→1− (x2 − 5x+ 4) / (x2 + x− 2) b) lim x→3+ (x3 − 4x) / (x2 − 6x+ 9) c) lim x→2 (x2 − 4x+ 4) / (x2 −...

a) Para encontrar o limite dessa função, podemos simplesmente substituir o valor de x na expressão. No entanto, como o limite é dado para x→1-, precisamos nos aproximar de 1 por valores menores que 1. Assim, temos: lim x→1- (x^2 - 5x + 4) / (x^2 + x - 2) = (-1) / (-2) = 1/2 b) Nesse caso, podemos fatorar o denominador para facilitar a resolução: lim x→3+ (x^3 - 4x) / (x^2 - 6x + 9) = lim x→3+ x(x^2 - 4) / (x - 3)^2 = lim x→3+ x(x - 2)(x + 2) / (x - 3)^2 Substituindo x por 3, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos resolver essa indeterminação aplicando a regra de L'Hôpital: lim x→3+ x(x - 2)(x + 2) / (x - 3)^2 = lim x→3+ (3x^2 - 2x - 12) / 2(x - 3) = 9/2 c) Novamente, podemos fatorar o denominador: lim x→2 (x^2 - 4x + 4) / (x^2 - 8x + 12) = lim x→2 (x - 2)^2 / (x - 6)(x - 2) Cancelando o fator comum (x - 2), temos: lim x→2 (x - 2) / (x - 6) = -1/2 d) Podemos resolver esse limite aplicando a definição de derivada: lim x→0 (e^x - 1) / x = e^0 = 1 e) Novamente, podemos resolver essa indeterminação aplicando a regra de L'Hôpital: lim x→0+ sen(x) / (x^3 - x^2) = lim x→0+ cos(x) / (3x^2 - 2x) = 1/0+ = +∞ f) Podemos fatorar o denominador: lim x→1 (x^99 - 5x^2 + 4) / (2x^3 - 2) = lim x→1 [(x - 1)(x^98 + x^97 + ... + x + 1) - 5(x - 1)(x + 1)] / 2(x - 1)(x^2 + x + 1) = lim x→1 (x^98 + x^97 + ... + x - 6) / 2(x^2 + x + 1) Substituindo x por 1, temos: lim x→1 (x^98 + x^97 + ... + x - 6) / 2(x^2 + x + 1) = -5/3 g) Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por e^(3x): lim x→0 (e^(2x) / 2 - sen(x) / e^(2x)) / (sen(3x) / e^(3x) - cos(2x)) = lim x→0 (1/2 - e^(-5x) sen(x)) / (e^(-3x) sen(3x) - cos(2x)) Substituindo x por 0, temos: lim x→0 (1/2 - e^(-5x) sen(x)) / (e^(-3x) sen(3x) - cos(2x)) = 1/2 h) Podemos simplificar a expressão aplicando a regra do logaritmo: lim x→1 (2 / ln(1 - 2x)) / tg(πx) = lim x→1 (2 / ln[(1 - 2x)^(1/2)]) / tg(πx) = lim x→1 (2 / [1/2(1 - 2x)^(-1/2)(-2)]) / tg(πx) = -√2 / tg(π) i) Podemos simplificar a expressão aplicando a identidade trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2): lim x→0 [(1 / (1 - cos(x))) - (2 / x^2)] = lim x→0 [(1 / (2sen^2(x/2))) - (2 / x^2)] = lim x→0 [(x^2 - 4sen^2(x/2)) / (2x^2sen^2(x/2))] = lim x→0 [(x - 2sen(x/2)(cos(x/2))) / (2x^2sen^2(x/2))] = 1/2 j) Podemos substituir x por 1: lim x→1 (5 - 3x - x^2) = 1 k) Podemos fatorar o numerador: lim x→-2 (x^2 - 4) / (x + 2) = lim x→-2 (x - 2)(x + 2) / (x + 2) = -4 l) Podemos fatorar o denominador: lim x→2 (x^2 + x + 1) / (x^2 + 2x) = lim x→2 (x^2 + x + 1) / (x(x + 2)) = 3/4 m) Podemos fatorar o numerador: lim x→5/2 (4x^2 - 25) / (2x - 5) = lim x→5/2 (2x - 5)(2x + 5) / (2x - 5) = 5