1. Dados os vetores ®a = 2î+3ĵ+5k̂, ®b = î+2ĵ−1k̂ e ®c = 4k̂, calcule:
(a) ®d = ®a+ ®b
(b) ®d = ®a− ®b
(c) ®d = ®b−®a
(d) ®d = 2®a
(e) ®d = 2(®...

Question

1. Dados os vetores ®a = 2î+3ĵ+5k̂, ®b = î+2ĵ−1k̂ e ®c = 4k̂, calcule:
(a) ®d = ®a+ ®b
(b) ®d = ®a− ®b
(c) ®d = ®b−®a
(d) ®d = 2®a
(e) ®d = 2(®a+ ®b)
(f) ®d = −3(®a+ ®b)
(g) ®d = 1
2 (®a+ ®b)
(h) ®d = −0,5(®a+ ®b)
(i) ®d = (®a+ ®b) +®c
(j) ®d = ®a+ (®b+®c)
(k) ???? = |®a|
(l) ???? = |2®a|
2. Um vetor deslocamento ®r no plano ???????? tem comprimento igual a 15 m e forma um angulo de 30 graus com o eixo x̂. Determine os módulos das componentes x̂ e ŷ desse vetor.
3. Dado que ®a é um vetor bidimensional, cujo componentes são ???????? = 3 e ???????? = √3 e que \ é o ângulo entre o vetor ®a e o semieixo x positivo, determine:
(a) O módulo de ®a
(b) A orientação de ®a, ou seja, o valor do ângulo
4. Considere dois vetores ®a e ®b que formam entre si um ângulo \ . Mostre que, se ®r = ®a+ ®b, então:
???? = √︁ ????2 + ????2 +2???????? cos\ sendo ????, ???? e ???? os módulos dos respectivos vetores.
5. Em um jogo do flamengo, a bola está inicialmente no centro do campo. Considere um sistema de coordenadas ???????????? contido no plano do campo e com origem ???? no centro do gramado. Depois do primeiro chute, a bola se encontra na posição ®r = 3î−4ĵ, onde as unidades estão em metros. Determine:
(a) O módulo do deslocamento da bola após o primeiro chute.
(b) O ângulo formado entre o vetor ®r e o eixo +????????.
6. Utilizando os vetores ®a, ®b e ®c do primeiro exercı́cio, determine:
(a) ®a · ®b
(b) ®b · ®a
(c) ®a · ®a
(d) ®a · ®c
(e) ®a× ®b
(f) ®b× ®a
(g) ®a× ®a
(h) ®c× ®b
(i) ®c · (®a× ®b)
(j) ®b · (®c× ®a)
(k) ®a · (®b×®c)
(l) 3®c · (2®a×−1®b)
7. Considere os vetores ®a e ®b que formam ângulos \???? e \???? com o eixo x̂. Demonstre que:
®a · ®b = |®a| |®b| cos???? ???????????????? ???? = |\???? − \???? |
8. O trabalho (????) realizado por uma força pode ser matematicamente definida como o produto escalar entre a força aplicada e o vetor deslocamento. Suponha que, em um sistema de apenas duas dimensões (????????????), uma certa força ®F, que forma um ângulo \ com o vetor deslocamento ®r, realiza trabalho igual a 200 J. Se os módulos dos vetores são ???? = 12,5???? e ???? = 32????, determine o ângulo entre a força aplicada e a direção do deslocamento.
9. Mostre que dados dois vetores quaisquer ®a e ®b, o vetor ®c = ®a× ®b é perpendicular tanto ao vetor ®a, quanto ao vetor ®b.
10. Dois vetores possuem módulos iguais a 3 e 10 metros. Sabe-se que o produto vetorial destes dois vetores resulta em um terceiro vetor ®c = (3î−4k̂)????. Determine qual é o ângulo entre os vetores. (Dica: utilize a expressão que envolve o módulo de um produto vetorial)
11. Mostre que o módulo do produto vetorial entre dois vetores quaisquer ®a e ®b é numericamente igual à área do paralelogramo cujos lados são os dois vetores.
12. Na presença de um campo magnético ®B uma partı́cula de carga ???? que se deslocando com velocidade ®v tem seu movimento alterado por uma força do tipo:
®F = ????®v× ®B
Considerando ???? = 2, ®v = 2î+4ĵ+6k̂ e ®F = 4î−18ĵ+12k̂, determine as componentes ???????? , ???????? e ???????? do vetor campo magnético para o caso em que ???????? = ????????.

Ed · Answer

(a) ®d = ®a + ®b = (2î+3ĵ+5k̂) + (î+2ĵ−1k̂) = 3î+5ĵ+4k̂
(b) ®d = ®a - ®b = (2î+3ĵ+5k̂) - (î+2ĵ−1k̂) = î+ĵ+6k̂
(c) ®d = ®b - ®a = (î+2ĵ−1k̂) - (2î+3ĵ+5k̂) = -î-ĵ-6k̂
(d) ®d = 2®a = 2(2î+3ĵ+5k̂) = 4î+6ĵ+10k̂
(e) ®d = 2(®a+ ®b) = 2[(2î+3ĵ+5k̂) + (î+2ĵ−1k̂)] = 2(3î+5ĵ+4k̂) = 6î+10ĵ+8k̂
(f) ®d = −3(®a+ ®b) = -3[(2î+3ĵ+5k̂) + (î+2ĵ−1k̂)] = -3(3î+5ĵ+4k̂) = -9î-15ĵ-12k̂
(g) ®d = 1/2 (®a+ ®b) = 1/2 [(2î+3ĵ+5k̂) + (î+2ĵ−1k̂)] = 1/2 (3î+5ĵ+4k̂) = 1.5î+2.5ĵ+2k̂
(h) ®d = −0,5(®a+ ®b) = -0,5[(2î+3ĵ+5k̂) + (î+2ĵ−1k̂)] = -0,5(3î+5ĵ+4k̂) = -1.5î-2.5ĵ-2k̂
(i) ®d = (®a+ ®b) +®c = (2î+3ĵ+5k̂) + (î+2ĵ−1k̂) + 4k̂ = 3î+5ĵ+8k̂
(j) ®d = ®a+ (®b+®c) = (2î+3ĵ+5k̂) + [(î+2ĵ−1k̂) + 4k̂] = 3î+5ĵ+8k̂
(k) ®d = ???? = |®a| = √(2²+3²+5²) = √38
(l) ®d = ???? = |2®a| = 2|®a| = 2√(2²+3²+5²) = 2√38

2. O vetor deslocamento ®r pode ser decomposto em suas componentes x̂ e ŷ da seguinte forma:
®r = 15 cos(30°) î + 15 sin(30°) ĵ
Portanto, o módulo da componente x̂ é 15 cos(30°) = 12,99 m e o módulo da componente ŷ é 15 sin(30°) = 7,5 m.

3. O módulo de ®a é dado por:
|®a| = √(3² + (√3)²) = √12
O ângulo entre o vetor ®a e o semieixo x positivo é dado por:
θ = arctan(√3/3) = 30°

4. Sabemos que:
®r = ®a + ®b
Portanto, o módulo de ®r ao quadrado é dado por:
|®r|² = |®a + ®b|²
|®r|² = (®a + ®b)·(®a + ®b)
|®r|² = ®a·®a + 2®a·®b + ®b·®b
|®r|² = |®a|² + 2®a·®b + |®b|²
|®r|² = |®a|² + |®b|² + 2|®a||®b|cosθ
Portanto, o módulo de ®r é dado por:
|®r| = √(|®a|² + |®b|² + 2|®a||®b|cosθ)

5. (a) O módulo do deslocamento da bola após o primeiro chute é dado por:
|®r| = √(3² + (-4)²) = 5 m
(b) O ângulo formado entre o vetor ®r e o eixo +x̂ é dado por:
θ = arctan(-4/3) = -53,13°

6. (a) ®a · ®b = (2î+3ĵ+5k̂)·(î+2ĵ−1k̂) = 2+6-5 = 3
(b) ®b · ®a = (î+2ĵ−1k̂)·(2î+3ĵ+5k̂) = 2+6-5 = 3
(c) ®a · ®a = (2î+3ĵ+5k̂)·(2î+3ĵ+5k̂) = 4+9+25 = 38
(d) ®a · ®c = (2î+3ĵ+5k̂)·(4k̂) = 20
(e) ®a × ®b = (2î+3ĵ+5k̂)×(î+2ĵ−1k̂) = (-1) î + 11k̂ - 1 ĵ
(f) ®b × ®a = (î+2ĵ−1k̂)×(2î+3ĵ+5k̂) = -11k̂ + 1 ĵ + î
(g) ®a × ®a = 0
(h) ®c × ®b = (4k̂)×(î+2ĵ−1k̂) = -4ĵ - î
(i) ®c · (®a× ®b) = (4k̂)·(-1 î + 11k̂ - 1 ĵ) = -4
(j) ®b · (®c× ®a) = (î+2ĵ−1k̂)·(-11k̂ - 1 ĵ) = -11
(k) ®a · (®b×®c) = (2î+3ĵ+5k̂)·(-16î+8ĵ-5k̂) = -46
(l) 3®c · (2®a×-1®b) = 3(4k̂)·(2(-1) î + 11k̂ - 1 ĵ) = -132k̂

7. Sabemos que:
®a · ®b = |®a| |®b| cos(θb - θa)
Portanto, temos que:
cos(θb - θa) = ®a · ®b / (|®a| |®b|)
E também sabemos que:
|\θb - θa| = arccos(cos(θb - θa))
Portanto, temos que:
|\θb - θa| = arccos(®a · ®b / (|®a| |®b|))

8. Sabemos que:
W = ®F · ®r = |®F| |®r| cosθ
Portanto, temos que:
cosθ = W / (|®F| |®r|)
E também sabemos que:
cosθ = cos\ / (|®F| / |®r|)
Portanto, temos que:
\ = arccos((W / (|®F| |®r|)) / (|®F| / |®r|)))

9. Sabemos que:
®c = ®a × ®b
Portanto, temos que:
®c · ®a = (®a × ®b) · ®a = 0
E também temos que:
®c · ®b = (®a × ®b) · ®b = 0

10. Sabemos que:
®c = ®a × ®b
Portanto, temos que:
|®c| = |®a| |®b| sinθ
E também sabemos que:
cosθ = (®a × ®b) · ®c / (|®a| |®b| |®c|)
Portanto, temos que:
cosθ = (3(-4) - (-10)?) / (√(3²+(-4)²+0²) √(10²+0²+3²))
θ = arccos(cosθ)

11. Sabemos que:
|®a × ®b| = |®a| |®b| sinθ
Portanto, temos que:
|®a × ®b| = área do paralelogramo formado por ®a e ®b

12. Sabemos que:
®F = q®v × ®B
Portanto, temos que:
|®F| = q|®v| |®B| sinθ
E também sabemos que:
cosθ = (®v × ®B) · ®F / (|®v| |®B| |®F|)
Portanto, temos que:
cosθ = (2(-12) - 4(-18)) / (√(2²+4²+6²) √(4²+(-18)²+12²))
θ = arccos(cosθ)
As componentes do vetor campo magnético são dadas por:
Bx = 2/√2 = √2
By = -9/√2
Bz = 6/√2

1. Dados os vetores ®a = 2î+3ĵ+5k̂, ®b = î+2ĵ−1k̂ e ®c = 4k̂, calcule: (a) ®d = ®a+ ®b (b) ®d = ®a− ®b (c) ®d = ®b−®a (d) ®d = 2®a (e) ®d = 2(®...

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