Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular...

Para encontrar a área do setor OAB, precisamos primeiro encontrar o valor do raio do círculo. Sabemos que a medida do arco AB é igual a 32AB, e que a medida do arco AB é igual ao comprimento do arco AXB. Como o segmento CD é tangente ao arco AXB, temos que o triângulo CDX é retângulo em X. Assim, temos que CX = 1/2 AD = 16AB. Como CX é o cateto adjacente ao ângulo central AOB, podemos usar a razão trigonométrica do cosseno para encontrar o raio do círculo: cos(AOB) = CX/OB cos(AOB) = 16AB/OB OB = 16AB/cos(AOB) Também sabemos que a área do setor OAB é igual a (1/2)OB² sen(AOB). Substituindo o valor de OB encontrado acima, temos: Área do setor OAB = (1/2)(16AB/cos(AOB))² sen(AOB) Área do setor OAB = 128AB² sen(AOB)/cos²(AOB) Agora precisamos encontrar o valor de sen(AOB) e cos(AOB). Como a medida do arco AB é igual a 32AB, temos que: AB = (32/360)2πr AB = (4/45)πr Como 1AD, temos que: AD = AB + BD 1 = (4/45)πr + BD Como ABCD é um retângulo, temos que BD = AC = 2AB, então: 1 = (4/45)πr + 2AB 1 = (4/45)πr + (8/45)πr r = 45/12π Agora podemos encontrar o valor de sen(AOB) e cos(AOB): sen(AOB) = AB/r sen(AOB) = (4/45)πr / (45/12)π sen(AOB) = 16/135 cos(AOB) = OC/r cos(AOB) = AB + BC/r cos(AOB) = (4/45)πr + 2AB/r cos(AOB) = (4/45)πr + (8/45)πr / (45/12)π cos(AOB) = 17/27 Substituindo os valores encontrados na fórmula da área do setor OAB, temos: Área do setor OAB = 128AB² sen(AOB)/cos²(AOB) Área do setor OAB = 128(4/45)²π(45/12)²(16/135)/(17/27)² Área do setor OAB = 34 Portanto, a resposta correta é a letra c) 34.