Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S= 1 + 1 + 1 2 . log2 2016 5 . log3 2016 10 . log7 2016. O valor de S é Os três logar...
Os três logaritmos apresentados na expressão do enunciado estão em bases diferentes, o que dificulta bastante qualquer movimento. Entretanto, pela propriedade da mudança de base, podemos mudar todas as bases dos logaritmos para 2016.
Pela propriedade da mudança de base, temos que: logb a = logc a logc b. Repare que uma expressão é exatamente a inversa da outra. Assim, concluímos que logb a = 1 loga b
Com isso, temos log2 2016 = 1 log2016 2, log3 2016 = 1 log2016 3, log7 2016 = 1 log2016 7
Com todos os logaritmos na mesma base, fazemos a soma: S= 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 1 2 log2 2016 5 log3 2016 10 log7 2016
Aplicando as propriedades dos logaritmos: S = 1 . 5 . log2016 2 + 2 . log2016 3 + log2016 7 10
S = 1 . log2016 (25 . 32 . 7) 10 Como 2016 = 25 . 3² . 7, então
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/7
e) 1/10
💡 1 Resposta
Ed 
Podemos simplificar a expressão S utilizando as propriedades dos logaritmos e mudança de base. Primeiro, mudamos todas as bases dos logaritmos para 2016, utilizando a propriedade da mudança de base. Em seguida, somamos os termos e aplicamos as propriedades dos logaritmos novamente. Temos: log2 2016 = 1 log2016 2 log3 2016 = 1 log2016 3 log7 2016 = 1 log2016 7 S= 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 1/2 log2016 5 + 2 . 1/3 log2016 10 + 1/10 log2016 7 S = 1 + 2/3 + 1/20 log2016 (5^1/2 * 10^2/3 * 7^1/10) S = 1 + 2/3 + 1/20 log2016 (5^5 * 10^20/3 * 7^1/2) S = 1 + 2/3 + 1/20 log2016 (5^5 * 10^20/3 * 49) S = 1 + 2/3 + 1/20 log2016 (5^5 * 10^20/3 * 7^2) S = 1 + 2/3 + 1/20 log2016 (5^5 * 10^20/3) + 1/20 log2016 7^2 S = 1 + 2/3 + 1/20 (5 log2016 5 + 20/3 log2016 10) + 1/10 log2016 7 S = 1 + 2/3 + 1/4 log2016 5 + 1/3 log2016 10 + 1/10 log2016 7 S = 1 + 2/3 + 1/4 log2016 5 + 1/3 log2016 (2 * 5) + 1/10 log2016 7 S = 1 + 2/3 + 1/4 log2016 5 + 1/3 (log2016 2 + log2016 5) + 1/10 log2016 7 S = 1 + 2/3 + 1/4 log2016 5 + 1/3 (1/2 + log2016 5) + 1/10 log2016 7 S = 1 + 2/3 + 1/6 + 1/12 log2016 5 + 1/30 log2016 7 S = 5/3 + 1/12 log2016 5 + 1/30 log2016 7 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 1/5.
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