2. Considere a função f : D f ⊆ R2 → R definida por: f (x, y) = √x2 + y2 − 4 exp(x+y−4 y−x2−1) a. (1,5 val.) Determine analiticamente o domínio d...

a. O domínio da função f é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) que satisfazem as condições para que a função esteja definida. No caso da função f, a raiz quadrada deve ser não negativa e o expoente da função exponencial deve ser finito. Portanto, o domínio de f é dado por: Df = {(x, y) ∈ R² | x² + y² ≥ 4 e y ≠ x² + 1} Geometricamente, o domínio de f é o conjunto de todos os pontos do plano que estão fora da circunferência de raio 2 e centro na origem, exceto pela parábola y = x² + 1. b. O interior de Df é o conjunto de todos os pontos interiores de Df, ou seja, o conjunto de todos os pontos que possuem uma vizinhança contida em Df. O derivado de Df é o conjunto de todos os pontos que possuem uma reta tangente a Df em pelo menos um ponto. A fronteira de Df é o conjunto de todos os pontos que não pertencem ao interior de Df nem ao derivado de Df. Analisando a representação geométrica de Df, podemos concluir que o interior de Df é o conjunto de todos os pontos dentro da circunferência de raio 2 e centro na origem, exceto pela parábola y = x² + 1. O derivado de Df é o conjunto de todos os pontos da circunferência de raio 2 e centro na origem, exceto pelos pontos (2, 1) e (-2, 1). A fronteira de Df é a parábola y = x² + 1 e a circunferência de raio 2 e centro na origem. c. O conjunto Df não é aberto, pois não contém todos os seus pontos interiores. Também não é fechado, pois não contém todos os seus pontos de fronteira. Além disso, Df não é conexo por arcos, pois existem pontos em Df que não podem ser conectados por um arco contido em Df. Por fim, Df não é limitado, pois não está contido em nenhum disco fechado de raio finito.