As triplas bacanas Dizemos que uma tripla de inteiros (x, y, z) é do tipo bacana se x, y e z são inteiros positivos, com y ≥ 2, e x2 −3y2 = z2 −3. ...

a) Para x = 5, temos x² - 3y² = z² - 3, substituindo y = 2, temos 5² - 3.2² = z² - 3, o que resulta em z = 7. Portanto, a tripla bacana é (5, 2, 7). Para x = 7, temos x² - 3y² = z² - 3, substituindo y = 2, temos 7² - 3.2² = z² - 3, o que resulta em z = 11. Portanto, a tripla bacana é (7, 2, 11). b) Para todo x ≥ 5 e ímpar, podemos escrever x² - 3 = (x-1)(x+1), como x é ímpar, x-1 e x+1 são pares e, portanto, têm pelo menos um fator 2 cada. Como x ≥ 5, temos que x-1 e x+1 são consecutivos e, portanto, um deles é divisível por 4. Assim, podemos escrever x² - 3 = 4k(k ± 1), para algum inteiro k. Como 4 divide um dos fatores, temos que 2 divide o outro fator. Se k é par, então k ± 1 é ímpar e, portanto, y = 2k e z = 2k ± 1 são inteiros positivos. Se k é ímpar, então k ± 1 é par e, portanto, y = k e z = (k ± 1)/2 são inteiros positivos. Em ambos os casos, temos duas triplas distintas do tipo bacana. c) Para x par, podemos escrever x = 2k, para algum inteiro k. Substituindo na equação x² - 3y² = z² - 3, temos 4k² - 3y² = z² - 3. Como 4k² é par, temos que y² é par e, portanto, y é par. Se y é par, podemos escrever y = 2j, para algum inteiro j. Substituindo na equação, temos 4k² - 12j² = z² - 3, o que implica que z² ≡ 1 (mod 4). Como todo quadrado é congruente a 0 ou 1 (mod 4), temos que z é ímpar. Assim, podemos escrever z = 2m + 1, para algum inteiro m. Substituindo na equação, temos 4k² - 12j² = 4m(m+1), o que implica que k² - 3j² = m(m+1). Portanto, podemos encontrar uma tripla do tipo bacana com x par se e somente se k² - 3j² pode ser escrito como um produto de dois inteiros consecutivos.