37 O produto que é um quadrado perfeito a) Verifique que se a ∈ {1,2,4}, então n(a +n) não é um quadrado perfeito para qualquer inteiro positivo n....

a) Se a ∈ {1,2,4}, então n(a +n) não é um quadrado perfeito para qualquer inteiro positivo n. Para provar isso, podemos usar a técnica de contradição. Suponha que existe um inteiro positivo n tal que n(a+n) é um quadrado perfeito. Então, podemos escrever: n(a+n) = m^2 onde m é um inteiro positivo. Expandindo o lado esquerdo da equação, temos: na + n^2 = m^2 Como a ∈ {1,2,4}, podemos escrever a = 2^k * b, onde k ∈ {0,1,2} e b é um número ímpar. Substituindo a na equação acima, temos: n(2^k * b + n) = m^2 Como 2^k é um quadrado perfeito, podemos escrever 2^k = c^2 para algum inteiro positivo c. Substituindo na equação acima, temos: nc^2 * b + n = m^2 Isso implica que n divide m^2. Como n e m são primos entre si (pois n(a+n) é um quadrado perfeito), segue-se que n é um quadrado perfeito. Mas isso é uma contradição, pois não existe nenhum quadrado perfeito que seja da forma 2^k * b + n para k ∈ {0,1,2} e b ímpar. Portanto, concluímos que n(a+n) não pode ser um quadrado perfeito para a ∈ {1,2,4} e qualquer inteiro positivo n. b) Se a = 2k, com k ≥ 3, então existe um inteiro positivo n tal que n(a+n) é um quadrado perfeito. Podemos provar isso construindo explicitamente um valor de n que satisfaz a condição. Se a = 2k, então podemos escrever a = 2^k * 1. Tomando n = 2^(k-2), temos: n(a+n) = 2^(k-2) * (2^k * 1 + 2^(k-2)) = 2^(2k-4) * (1 + 2) = 3 * 2^(2k-4) Como k ≥ 3, temos 2k-4 ≥ 2, o que implica que 2^(2k-4) é um quadrado perfeito. Além disso, 3 é um quadrado perfeito. Portanto, n(a+n) é um quadrado perfeito. c) Se a ∉ {1,2,4}, então sempre existe um inteiro positivo n tal que n(a+n) é um quadrado perfeito. Podemos provar isso construindo explicitamente um valor de n que satisfaz a condição. Se a ∉ {1,2,4}, então podemos escrever a = 2^k * b, onde k ≥ 3 e b é um número ímpar que não é igual a 1, 2 ou 4. Tomando n = b, temos: n(a+n) = b(2^k * b + b) = b^2 * (2^k + 1) Como b é ímpar e não é igual a 1, 2 ou 4, segue-se que b^2 é um quadrado perfeito ímpar. Além disso, 2^k + 1 é ímpar, pois k ≥ 3. Portanto, n(a+n) é um quadrado perfeito.