Determine o valor da integral ∫ (2sec 2y + + 2y)dy 3 1+y 2 31/03/2024, 2tg y- arctg y-2y+k, k real
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Ed 
há 11 meses
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Ed
ano passado
Para resolver essa integral, podemos utilizar a substituição trigonométrica y = tan(u), o que nos permite reescrever a integral da seguinte forma: ∫ (2sec^2y + 2y)/(1+y^2) dy = ∫ (2sec^2(tan(u)) + 2tan(u))/(1+tan^2(u)) sec^2(u) du Podemos simplificar a expressão utilizando as identidades trigonométricas sec^2(u) = 1 + tan^2(u) e sec^2(tan(u)) = 1 + tan^2(tan(u)), obtendo: ∫ (3tan^2(u) + 2tan(u) + 2)/(1+tan^2(u)) du Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica de substituição simples, fazendo v = tan(u) e dv = sec^2(u) du. Assim, temos: ∫ (3v^2 + 2v + 2)/(1+v^2) dv Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica de decomposição em frações parciais. Após a decomposição, podemos integrar cada termo separadamente e obter a resposta final. O resultado da integral é: ∫ (2sec^2y + 2y)/(1+y^2) dy = 2ln|1+y^2| + 2arctan(y) + C Substituindo y = tan(u), temos: ∫ (2sec^2(tan(u)) + 2tan(u))/(1+tan^2(u)) sec^2(u) du = 2ln|1+tan^2(u)| + 2arctan(tan(u)) + C Simplificando a expressão, temos: ∫ (2sec^2(tan(u)) + 2tan(u))/(1+tan^2(u)) sec^2(u) du = 2ln|sec(u)| + 2u + C Substituindo u = arctan(y), temos: ∫ (2sec^2y + 2y)/(1+y^2) dy = 2ln|sec(arctan(y))| + 2arctan(y) + C Como sec(arctan(y)) = √(1+y^2), temos: ∫ (2sec^2y + 2y)/(1+y^2) dy = 2ln(√(1+y^2)) + 2arctan(y) + C Portanto, o valor da integral é 2ln(√(1+y^2)) + 2arctan(y) + C.
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