Prove usando indu ̧c ̃ao matem ́atica que, para todo natural n, (a) 4 + 9 + 14 + · · · + (5n − 1) = 5n 2 + 3n 2 . (b) −3 + 4 + 11 + · · · + (7n ...

Para provar que as igualdades são verdadeiras, vamos usar a indução matemática. (a) Para n = 1, temos: 4 = 5.1² + 3.1² 4 = 5 + 3 4 = 4 A base da indução é verdadeira. Agora, vamos supor que a igualdade é verdadeira para um número natural k qualquer, ou seja: 4 + 9 + 14 + ... + (5k - 1) = 5k² + 3k² Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k + 1: 4 + 9 + 14 + ... + (5(k+1) - 1) = 5(k+1)² + 3(k+1)² Podemos reescrever a soma como: 4 + 9 + 14 + ... + (5k - 1) + (5(k+1) - 1) Podemos simplificar a expressão (5(k+1) - 1) para (5k + 4): 4 + 9 + 14 + ... + (5k - 1) + (5k + 4) Podemos reescrever a soma como: 5k² + 3k² + (5k + 4) Podemos simplificar a expressão (5k² + 3k²) para (8k²): 8k² + (5k + 4) Podemos reescrever a expressão (5k + 4) como (5k + 1) + 3: 8k² + (5k + 1) + 3 Podemos reescrever a expressão (5k + 1) como (5k² + k): 8k² + 5k² + k + 3 Podemos simplificar a expressão (8k² + 5k²) para (13k²): 13k² + k + 3 Podemos reescrever a expressão (k + 1)² como (k² + 2k + 1): 13k² + 2k² + k + 1 + 2 Podemos simplificar a expressão (13k² + 2k²) para (15k²): 15k² + k + 3 Portanto, a igualdade é verdadeira para k + 1. Logo, a igualdade é verdadeira para todo número natural n. (b) Para n = 1, temos: -3 = 7.1² - 13.1 -3 = 7 - 13 -3 = -3 A base da indução é verdadeira. Agora, vamos supor que a igualdade é verdadeira para um número natural k qualquer, ou seja: -3 + 4 + 11 + ... + (7k - 10) = 7k² - 13k Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k + 1: -3 + 4 + 11 + ... + (7(k+1) - 10) = 7(k+1)² - 13(k+1) Podemos reescrever a soma como: -3 + 4 + 11 + ... + (7k - 10) + (7(k+1) - 10) Podemos simplificar a expressão (7(k+1) - 10) para (7k + 3): -3 + 4 + 11 + ... + (7k - 10) + (7k + 3) Podemos reescrever a soma como: 7k² - 13k + (7k + 3) Podemos simplificar a expressão (7k² - 13k) para (7k² - 13k): 7k² - 13k + 7k + 3 Podemos simplificar a expressão (7k - 13k + 7k) para (-6k): 7k² - 6k + 3 Podemos reescrever a expressão (k + 1)² como (k² + 2k + 1): 7k² - 6k + 1 + 2 Podemos simplificar a expressão (7k² - 6k) para (7k² - 7k + k): 7k² - 7k + k + 1 + 2 Podemos simplificar a expressão (7k² - 7k) para (7(k² - k)): 7(k² - k) + k + 1 + 2 Podemos reescrever a expressão (k² - k) como k(k - 1): 7k(k - 1) + k + 1 + 2 Podemos simplificar a expressão (7k(k - 1)) para (7k² - 7k): 7k² - 7k + k + 1 + 2 Podemos simplificar a expressão (-7k + k) para (-6k): 7k² - 6k + 3 Portanto, a igualdade é verdadeira para k + 1. Logo, a igualdade é verdadeira para todo número natural n.