Três de cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual a probabi...

a) Para calcular a probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho, precisamos somar as probabilidades de 12, 13, 14, 15 e 16 alunos terem feito cursinho. Podemos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações separadamente e depois somar. A probabilidade de um aluno ter feito cursinho é de 3/4, e a probabilidade de um aluno não ter feito cursinho é de 1/4. Usando a distribuição binomial, temos: P(X ≥ 12) = 1 - P(X < 12) P(X < 12) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 11) P(X < 12) = ∑(16, i=0) (16 i) (3/4)^i (1/4)^(16-i) P(X < 12) ≈ 0,0002 P(X ≥ 12) = 1 - P(X < 12) P(X ≥ 12) ≈ 0,9998 Portanto, a probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho é de aproximadamente 0,9998. b) Para calcular a probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho, podemos somar as probabilidades de 0, 1, 2, ..., 13 alunos terem feito cursinho. Usando a distribuição binomial, temos: P(X ≤ 13) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 13) P(X ≤ 13) = ∑(16, i=0) (16 i) (3/4)^i (1/4)^(16-i) P(X ≤ 13) ≈ 0,9999 Portanto, a probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho é de aproximadamente 0,9999. c) Para calcular a probabilidade de exatamente 12 alunos terem feito cursinho, podemos usar a distribuição binomial: P(X = 12) = (16 12) (3/4)^12 (1/4)^4 P(X = 12) ≈ 0,1851 Portanto, a probabilidade de exatamente 12 alunos terem feito cursinho é de aproximadamente 0,1851. d) O número esperado de alunos que fizeram cursinho em um grupo de 80 alunos pode ser calculado multiplicando o número total de alunos pelo número esperado de alunos que fizeram cursinho em um grupo de 16 alunos: E(X) = 80 * (3/4) E(X) = 60 Portanto, o número esperado de alunos que fizeram cursinho em um grupo de 80 alunos é de 60 alunos. e) A variância de uma distribuição binomial é dada por: Var(X) = n * p * (1 - p) Onde n é o número de tentativas e p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Substituindo os valores, temos: Var(X) = 80 * (3/4) * (1/4) Var(X) = 15 Portanto, a variância do número de alunos que fizeram cursinho em um grupo de 80 alunos é de 15 alunos ao quadrado.