A transformada de Laplace da função: f(x) = 2senx + 3 cos ⁡2x é:

A transformada de Laplace da função f(x) = 2senx + 3cos²x é: Primeiro, vamos aplicar a identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno ao quadrado: cos²x = 1 - sen²x Substituindo na função original, temos: f(x) = 2senx + 3(1 - sen²x) f(x) = 3 - 3sen²x + 2senx Agora, podemos aplicar a transformada de Laplace: L{f(x)} = L{3 - 3sen²x + 2senx} L{f(x)} = 3L{1} - 3L{sen²x} + 2L{senx} Para calcular L{sen²x}, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno: sen²x = (1 - cos2x)/2 Substituindo na expressão acima, temos: L{sen²x} = L{(1 - cos2x)/2} L{sen²x} = (1/2)(L{1} - L{cos2x}) Agora, precisamos calcular L{cos2x}. Podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona cosseno e exponencial: cos2x = (e^(2ix) + e^(-2ix))/2 Substituindo na expressão acima, temos: L{cos2x} = L{(e^(2ix) + e^(-2ix))/2} L{cos2x} = (1/2)(L{e^(2ix)} + L{e^(-2ix)}) Usando a propriedade da transformada de Laplace para a exponencial, temos: L{e^(ax)} = 1/(s - a) Aplicando essa propriedade, temos: L{cos2x} = (1/2)(1/(s - 2i) + 1/(s + 2i)) L{cos2x} = (s/(s² + 4)) Agora, podemos voltar para a expressão de L{f(x)}: L{f(x)} = 3L{1} - 3L{sen²x} + 2L{senx} L{f(x)} = 3/s - 3(1/2)(L{1} - L{cos2x}) + 2/s L{f(x)} = 3/s - (3/2)(1/s - s/(s² + 4)) + 2/s L{f(x)} = (s + 6)/(s(s² + 4)) Portanto, a transformada de Laplace da função f(x) = 2senx + 3cos²x é (s + 6)/(s(s² + 4)).