Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função , para , ao redor do eixo x. h(x) = 1 2 sen 2x′ 0 ≤ x ≤ π2 2π (√2 + ln(√2 + 1)...

Para determinar a área da superfície de revolução gerada pela função h(x) = 1/2 sen²x, para 0 ≤ x ≤ π/2, ao redor do eixo x, podemos utilizar a fórmula: A = 2π ∫[a,b] f(x) √(1 + [f'(x)]²) dx Onde a = 0, b = π/2 e f(x) = 1/2 sen²x. Para calcular f'(x), podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen 2x = 2 sen x cos x sen²x = (1 - cos 2x)/2 sen'2x = -2 sen x cos x sen'²x = -2 cos 2x/2 sen'²x = -cos 2x Portanto, f'(x) = -cos x. Substituindo na fórmula da área, temos: A = 2π ∫[0,π/2] (1/2 sen²x) √(1 + [(-cos x)]²) dx A = π ∫[0,π/2] sen²x √(1 + cos²x) dx Fazendo a substituição trigonométrica u = cos x, temos: du/dx = -sen x dx = -du/sen x Substituindo na integral, temos: A = π ∫[1,0] [(1 - u²)/2] √(1 + u²) (-du/sen x) A = -π/2 ∫[0,1] (u² - 1) / √(1 + u²) du Fazendo a substituição u = tan θ, temos: du/dθ = sec²θ du = sec²θ dθ Substituindo na integral, temos: A = -π/2 ∫[0,π/4] [(tan²θ - 1) / cos θ] sec²θ dθ A = -π/2 ∫[0,π/4] [(sin²θ - cos²θ) / cos³θ] dθ A = -π/2 ∫[0,π/4] [(1 - 2cos²θ) / cos³θ] dθ A = -π/2 ∫[0,π/4] (cos^-3θ - 2cos^-1θ) dθ A = -π/2 [(-2cos^-2θ)/2 - 2ln|cos θ|] [0,π/4] A = π/4 [2 + 2ln(√2 + 1)] Portanto, a área da superfície de revolução gerada pela função h(x) = 1/2 sen²x, para 0 ≤ x ≤ π/2, ao redor do eixo x, é aproximadamente 2,356 unidades de área.