A derivada da função Y=F(X)= 3√2x no ponto x = 8 vale: a. 1/6. b. 2/3. c. 1/8. d. 0. e. 3/2.

Para encontrar a derivada da função Y=F(X)= 3√2x, precisamos aplicar a regra da cadeia e a regra do expoente. Primeiro, vamos aplicar a regra do expoente, que diz que a derivada de uma função do tipo f(x) = a^x é igual a f'(x) = a^x * ln(a). Nesse caso, temos f(x) = 2x^(1/3), então: f'(x) = (1/3) * 2 * x^(-2/3) = 2/3x^(2/3) Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é igual ao produto da derivada da função externa pela função interna derivada. Nesse caso, a função externa é Y = F(X) = 3√2x e a função interna é g(x) = 2x^(1/3). Então: Y' = F'(g(x)) * g'(x) = (2/3g(x)^(2/3)) * (d/dx)(2x^(1/3)) Agora, substituindo g(x) = 2x^(1/3), temos: Y' = (2/3(2x^(1/3))^(2/3)) * (d/dx)(2x^(1/3)) Y' = (2/3(2^(2/3)x^(2/9))) * (1/3)x^(-2/3) Y' = 4/9x^(2/9)x^(-2/3) Y' = 4/27x^(-4/9) Agora, podemos encontrar a derivada da função Y=F(X)= 3√2x no ponto x = 8 substituindo x na expressão que encontramos: Y'(8) = 4/27(8)^(-4/9) Y'(8) = 4/27(1/2) Y'(8) = 2/27 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1/6.