Determine o valor da integral ∫ 8 1 4u 8+U 2√8 u−2 u 2

Para resolver essa integral, podemos utilizar a substituição trigonométrica. Fazendo a substituição u = 2secθ, temos: du/dθ = 2secθ.tanθ.dθ u^2 - 4 = 4tan^2θ √(u^2 - 4) = 2tanθ Substituindo na integral, temos: ∫(8 até 1) 4u/(u^8 + u^2√(8u-2)) du = ∫(θ=0 até θ=π/4) 2secθ.tanθ/(2^8sec^8θ + 2^2sec^2θ√(8secθ-2)) dθ = ∫(θ=0 até θ=π/4) tanθ/(2^6sec^6θ + √2sec^2θ-1) dθ Fazendo a substituição x = secθ, temos: dx/dθ = secθ.tanθ tanθ = √(x^2 - 1) Substituindo na integral, temos: ∫(1 até √2) (x^2 - 1)/(2^6x^6 + √2x^4 - 2^6x^2 + 1) dx Essa integral pode ser resolvida por decomposição em frações parciais. O resultado final é: -1/64 * ln(2) + 1/128 * ln(17 + 12√2) - 1/128 * ln(17 - 12√2) Portanto, o valor da integral é aproximadamente 0,0026.