Para resolver essa questão, precisamos entender como calcular a derivada direcional de uma função de duas variáveis. A derivada direcional de uma função \( f \) em um ponto \( A \) na direção de um vetor \( \mathbf{u} \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f(A) = \nabla f(A) \cdot \mathbf{u} \] onde \( \nabla f(A) \) é o gradiente da função em \( A \) e \( \mathbf{u} \) é o vetor unitário na direção desejada. Dado que temos as derivadas direcionais em \( A \) nas direções de \( AB \) e \( AC \): - \( D_{AB} f(A) = 3 \) - \( D_{AC} f(A) = 26 \) Precisamos encontrar a derivada direcional na direção de \( AD \). Primeiro, vamos calcular os vetores \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) e \( \overrightarrow{AD} \): - \( \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1, 3 - 3) = (2, 0) \) - \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 1, 7 - 3) = (0, 4) \) - \( \overrightarrow{AD} = D - A = (6 - 1, 15 - 3) = (5, 12) \) Agora, precisamos encontrar os vetores unitários: - \( \mathbf{u_{AB}} = \frac{(2, 0)}{\sqrt{2^2 + 0^2}} = (1, 0) \) - \( \mathbf{u_{AC}} = \frac{(0, 4)}{\sqrt{0^2 + 4^2}} = (0, 1) \) - \( \mathbf{u_{AD}} = \frac{(5, 12)}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) \) Agora, podemos expressar o gradiente \( \nabla f(A) \) em termos das derivadas direcionais: - \( \nabla f(A) \cdot (1, 0) = 3 \) (derivada na direção de \( AB \)) - \( \nabla f(A) \cdot (0, 1) = 26 \) (derivada na direção de \( AC \)) Assim, podemos escrever: \[ \nabla f(A) = (3, 26) \] Agora, calculamos a derivada direcional na direção de \( AD \): \[ D_{AD} f(A) = \nabla f(A) \cdot \mathbf{u_{AD}} = (3, 26) \cdot \left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) \] Calculando o produto escalar: \[ D_{AD} f(A) = 3 \cdot \frac{5}{13} + 26 \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{13} + \frac{312}{13} = \frac{327}{13} = 27 \] Portanto, a derivada direcional de \( f \) em \( A \) na direção do vetor \( AD \) é 27. Porém, a resposta que você forneceu foi 327, que parece ser um erro de digitação ou confusão. A derivada direcional correta é 27.