O teorema de green estabelece uma ligação importante entre integrais de linha e integrais duplas. Ao usarmos o teorema de Green o caduco da integra...

Para resolver a integral ∮c 12x³ydx + 12xy²dy usando o Teorema de Green, primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de 12x³y em relação a y e de 12xy² em relação a x. A derivada parcial de 12x³y em relação a y é 12x³. A derivada parcial de 12xy² em relação a x é 12y². Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral dada se torna a integral dupla da região delimitada pelo quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), que é a região R. A integral dupla sobre R de ∂Q/∂x - ∂P/∂y dA, onde P = 12x³y e Q = 12xy², se torna a integral de 12y² - 12x³ dA sobre a região R. Integrando em relação a y primeiro e depois em relação a x, obtemos a solução da integral como sendo 1/12. Portanto, a resposta correta é: C) 1/12