Sejam a, b, c números reais não nulos tais que a + b + c = 0 e a³ + b³ + c³ = a5 + b5 + c5. O valor de a2 + b2 + c2 é a) 1 b) 3/4 c) 5/4 d) 5/4 e)...

Vamos resolver juntos. Dado que a + b + c = 0, podemos usar a identidade a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc). Como a + b + c = 0, a identidade se simplifica para a³ + b³ + c³ = 3abc. Agora, a⁵ + b⁵ + c⁵ = (a² + b² + c²)(a³ + b³ + c³ - a²b - ab² - b²c - bc² - a²c - ac²) + 5abc(ab + ac + bc). Como a³ + b³ + c³ = 3abc, a equação se simplifica para a⁵ + b⁵ + c⁵ = 5abc(ab + ac + bc). Portanto, a² + b² + c² = (a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2a²c² - 2b²c²)/2. Substituindo a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a² + b² + c²)² - 2(a²b² + a²c² + b²c²), obtemos a² + b² + c² = (a² + b² + c²)² - (a²b² + a²c² + b²c²). Agora, usando a³ + b³ + c³ = 3abc, temos a² + b² + c² = (a² + b² + c²)² - (a²b² + a²c² + b²c²) = 5abc(ab + ac + bc). Portanto, a² + b² + c² = 5abc(ab + ac + bc). Dessa forma, a resposta correta é a) 1.