Ampliando conceptos. El vector momento angular C esta definido como el producto P x . P , siendo P el vector que determina la posición del planeta de masa m respecto de un origen fijo O; consultar Cáp. 2, pág. 8, ecuación (2.4). Si el movimiento se realiza en el plano {x,y}, tiene la expresión, en coordenadas cartesianas: x y’−y x’ = C (escalar); donde x´,y´ son las componentes de la velocidad. Si C = 0 el movimiento es rectilíneo luego, podemos suponer que el mismo tiene lugar a lo largo del eje-x entonces, y (t) ≡ 0 y por tanto r2 = x2 + y2 = | x2 | ⇒ r = | x |. En consecuencia, las ecuaciones del movimiento, se reducen a: 3.. xxx − + = 0, (9.10) y la integral de la energía: 2. 2 1 x = 1x − + h, (9.11) solución x = x (t) de la ED (9.10) con sólo un grado de libertad, debe tender a cero cuando t tiende a un adecuado valor finito de t, sea este t0; esto significa que ningún movimiento es posible sin una colisión entre las dos partículas. Luego, la ED algebraica (9.10) tiene una singularidad en el punto x = 0 y toda solución de esta ED pasa a ser singular en t = t0 si la solución x (t) → 0 cuando t → t0. En efecto, teniendo en cuenta la integral (9.11) se puede verificar que |. x | →∞ cuando | x | → 0 1. Además, como vimos anteriormente, se demuestra que la anomalía excéntrica E es una variable de regularización local, la cual permite evitar la singularidad de la función analítica x (t) cuando t → t0. Si el vector momento angular es nulo, i.e. C = 0, esta caracterizado por: e = 1 (ya que, por definición de excentricidad e2 = 1 + 2 h C2), el cual corresponden a los casos elíptico e hiperbólico donde h < 0 ó h > 0 respectivamente; y por p = 0 en el caso parabólico donde h = 0 (siendo p = C2 ≥ 0 si h = 0). Entonces, la solución en función de la anomalía excéntrica E es: (9.12) Si t0 es una constante de integración, implica que: (9.13) Si analizamos estas ecuaciones observamos que existe una colisión para E = 0, 2π, 4π, . . ., si h < 0; o solamente para E = 0 si h ≥ 0. Por razones de periodicidad es suficiente considerar sólo el caso E = 0; ídem cuando h > 0. Elegimos el origen del eje-t tal que t = 0 corresponde a E = 0, por ejemplo que t0 = 0 entonces, las ecuaciones de los sistemas (9.12) y (9.13) se pueden escribir, en los tres casos, de la forma: x = E 2 P1(E), t = E 3 P2(E); donde )E(Pj representa, para j = 1,2, una serie de potencias de E la cual converge para todo E y además, tiene coeficientes reales y un término constante no-nulo )0(Pj ≠ 0. Por lo tanto, mediante la eliminación local de E, en el punto E = 0 (t = 0) y para | t | suficientemente pequeño resulta: x ( t ) = 3 2t ∑ ∞ =0n 3 n n tc (9.14) § 9.5 El teorema de Weierstrass-Sundman para n-cuerpos. 1 Consultar: Cohn, H.; 1980, “Conformal Mapping on Riemann Surfaces”, Ed. Dover Publications Inc. Farkas, H. M. & Kra, I.; 1992, “Riemann Surfaces”, Ed. Springer-Verlag. Dierkes, U., Hildebrandt, S. & Sauvigny, F.; 2010, “Minimal Surfaces”, Ed. Springer-Verlag. 2 En un sistema de coordenadas baricéntrico se satisfacen las siguientes relaciones algebraicas: m1 R1 + m 2 R2 + m 3 R3 = 0; y también: m 1 R´1 + m 2 R´2 + m 3 R´3 = 0. donde la constante c0 ≠ 0 y cn      > = < 0. Este resultado implica que )t(x tiene igual signo tanto para valores positivos como para valores negativos de t si es pequeño; por ej. la partícula que se mueve sobre el eje-x es reflejada por la colisión (o a través de la colisión) por la partícula que esta en reposo en x = 0. Entonces, la trayectoria de la partícula es reflejada a un estado en el cual la velocidad x’(t) es infinita, ya que de (9.14) se obtiene: | )t(x | ∼∼∼∼ | t | 3 1− → ∞, para t → 0. La descripción precisa de este escenario matemático es el siguiente: Consideremos a E y t como variables complejas (las cuales están eventualmente limitadas a ser reales). Entonces, x = )t(x es una función analítica de t, pues )t(x es obtenida por eliminación de E entre las funciones enteras (9.12) y (9.13) de E. De acuerdo a (9.14), la función analítica )t(x tiene en t = 0 un punto de ramificación algebraica en el cual tres hojas de la superficie de Riemann se juntan 1. Sigue también de (9.14) que, si t ≠ 0 es real y pequeño, )t(x es real sobre exactamente una de las tres hojas, si t → −0 ó t → +0; i.e. si el estado de movimiento es antes o después de la colisión. Por lo tanto, si 0 ≠ t ∼∼∼∼ ± 0, entonces )t(x tiene una singularidad a través de la cual es exactamente posible una prolongación analítica real. Esta única rama real de la prolongación analítica puede ser considerada como definiendo una prolongación dinámica del problema. Se recomienda consultar: Siegel, C.L. & Moser, J.K.; 1971, “Lectures on Celestial Mechanics”, págs. 26-42.