Questão 7: O estudo de máximos e mínimos de funções de várias variáveis é crucial na otimização e análise de sistemas. Determine os pontos de máxim...

Para determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função \( F(x,y) = x³ + y³ - 4x - 6y + 11 \), precisamos calcular os pontos críticos. Calculando as derivadas parciais e igualando a zero para encontrar os pontos críticos: \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 3x² - 4 = 0 \implies x = ±2 \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} = 3y² - 6 = 0 \implies y = ±1 \] Os pontos críticos são (2,1), (2,-1), (-2,1) e (-2,-1). Para determinar se são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da segunda derivada. Calculando as derivadas de segunda ordem: \[ \frac{\partial² F}{\partial x²} = 6x, \frac{\partial² F}{\partial y²} = 6y, \frac{\partial² F}{\partial x\partial y} = 0 \] A matriz Hessiana é: \[ H = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \] Para (2,1): \( H = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \), que é positiva definida, então é um mínimo. Para (2,-1): \( H = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -6 \end{bmatrix} \), que é indefinida, então não é nem máximo nem mínimo. Para (-2,1): \( H = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \), que é indefinida, então não é nem máximo nem mínimo. Para (-2,-1): \( H = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{bmatrix} \), que é negativa definida, então é um máximo. Portanto, a alternativa correta é: D) Máximo em (-2,-1) e mínimo em (2,1).