Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o ...

Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo: 130/100 = 1,30 (987/1000 = 0,987 5/1000 = 0,005 Comparação de números decimais A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual). Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo: 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2. 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5. Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são: 12,4 > 12,31 pois 12,4 = 12,40 e 40 > 31. 8,032 < 8,47 pois 8,47 = 8,470 e 032 < 470. 4,3 = 4,3 pois 4 = 4 e 3 = 3. NÚMEROS REAIS a) Introdução Com o avanço da matemática, o homem concluiu que haviam pontos na reta numérica que não correspondiam a nenhum número racional. Além disso, embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) estivessem definidas nos racionais, não tinham como resolver uma equação do tipo “x2 = 2” pois não existe racional a/b tal que 2 / b a 2 =. Esses dois fatos, um geométrico, outro algébrico, motivaram a introdução de um novo conjunto numérico: o conjunto dos números irracionais, símbolo Ir, cuja representação decimal é não-exata e não-periódica. Assim, ao conjunto formado pela união dos números racionais com os irracionais, temos um novo conjunto numérico denominado: conjunto dos números reais representado, simbolicamente, por R, onde: R Q = ∪ Ir Podemos também indicar por: { } = rI QR ∪ Representação geométrica Com o conjunto dos números reais a reta numérica ficou totalmente preenchida estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta tornando, assim, a reta uma reta real. Confira: 0 0,5 1 1,5 2 -1 -1,5 -2 2 4 3 - - 2 Dessa correspondência temos a principal propriedade dos conjuntos dos números reais: “A cada ponto da reta corresponde um único número real e a cada número real corresponde um único ponto da reta”. Essa correspondência biunívoca entre elementos de R e os pontos de r é denominado sistema de coordenadas abscissas; a reta r é chamada de reta real ou de eixo dos números reais, e o ponto “O”, correspondente ao número zero, é a origem desse sistema. Portanto, entre dois números reais haverá sempre infinitos números reais. Propriedade dos números reais Além da propriedade da reciprocidade na reta real, vista acima, podemos destacar outras, a observar: 1) Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número racional é real, e como todo número irracional também é real, então podemos estabelecer a seguinte relação entre os conjuntos numéricos: R Q Z N ⊂⊂⊂ e RI r ⊂ R = Q ∪ Ir O diagrama seguinte ilustra essa relação: R Ir Q Z N Real Irracional Racional Natural Inteiro 2) Dados dois números reais quaisquer, “x” e “y”, poderá ocorrer uma e somente uma das relações seguintes: y x y x y x >∨<∨= 3) Um número real representado na reta é maior que qualquer outro localizado à sua esquerda. x > p x < p P 4) Todo número real tem uma representação decimal que pode ser: *exata ou finita - com um determinado número de casas depois da vírgula. Ex.: 37,05; 0,75; 14,877; etc. * infinita ou periódica – com casas depois da vírgula que formam períodos. São as dízimas periódicas. Ex.: 9,635635635... = 6359, (período 635) *infinita e não-periódica – com infinitas casas depois da vírgula sem formar um período lógico. São os números irracionais. Observações: *No conjunto dos números reais todas as operações são possíveis, exceto a divisão por zero (0) e a raiz de índice par com radicando negativo. RR 3- 0 6 ∉→∉ *O uso dos números reais com infinitas casas depois da vírgula, seja ele racional ou irracional, é apenas teórico. Na prática, usa-se um certo número de casas após a vírgula, de acordo com a precisão desejada. 3,14 359...3,14159265 = →π *Para todos os números reais valem as propriedades da adição e da multiplicação: 1) propriedade comutativa da adição: a + b = b + a 2) propriedade comutativa da multiplicação: ab = ba 3) propriedade associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 4) propriedade associativa da multiplicação: (ab)c = a(bc) 5) propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac 6) 0 é o elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a 7) 1 é o elemento neutro da multiplicação: a . 1 = 1 . a = a Intervalo Numérico Como o conjuntos dos números reais ocupa toda a reta real e como dissemos que entre dois números reais há infinitos números reais, podemos afirmar que o conjunto dos números reais é um conjunto contínuo. Desse modo, para determinarmos a posição de um número real na reta criou-se uma nova notação para conjuntos formados por números reais que ou são maiores ou são menores que um real dado. Esses subconjuntos de R são chamados de INTERVALOS. Assim, para “a” e “b” reais com “a < b”, têm-se os seguintes subconjuntos de R ou conjuntos dos intervalos numéricos: *intervalo aberto – É o conjunto de todos os números reais delimitados por dois pontos extremos da reta. { x ∈ R | a < x < b } = ] a, b [ a b *intervalo fechado – É o conjunto de todos os números reais de um determinado ponto a outro da reta. { x ∈ R | a ≤ x ≤ b } = [ a, b ] a b *intervalo semiaberto à direita – É o conjunto de todos os números reais a partir de um determinado ponto até o extremo de outro à sua direita. { x ∈ R | a ≤ x < b } = [ a, b [ a b *intervalo semiaberto à esquerda – É o conjunto de todos os números reais a partir de um determinado ponto até o extremo de outro à sua esquerda. { x ∈ R | a < x ≤ b } = ] a, b ] a b