Se a⃗ = ⟨3, 1, 2⟩, b⃗ = ⟨−1, 1, 0⟩ e c⃗ = ⟨0, 0,−4⟩, mostre que a⃗× (⃗b× c⃗) ≠ (⃗a× b⃗)× c⃗.

Questões para Estudantes

ano passado

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3 pág.

Produto Vetorial e Ortogonalidade

UFPA

Respostas

ano passado

Para mostrar que a⃗× (⃗b× c⃗) ≠ (⃗a× b⃗)× c⃗, precisamos calcular ambos os lados da equação e verificar se são iguais ou não. Vamos calcular: a⃗× (⃗b× c⃗): a⃗× (⃗b× c⃗) = a⃗× (b⃗× c⃗) a⃗× (⃗b× c⃗) = a⃗× ⟨1* (-4) - 0* 0, 0* 0 - (-1)* (-4), 0* 0 - 0* 1⟩ a⃗× (⃗b× c⃗) = a⃗× ⟨4, 4, 0⟩ a⃗× (⃗b× c⃗) = ⟨4* 2 - 0* 4, 0* 3 - 4* 4, 3* 4 - 1* 4⟩ a⃗× (⃗b× c⃗) = ⟨8, -16, 8⟩ (a⃗× b⃗)× c⃗: (a⃗× b⃗)× c⃗ = ⟨3, 1, 2⟩× ⟨-1, 1, 0⟩× ⟨0, 0, -4⟩ (a⃗× b⃗)× c⃗ = (⟨3, 1, 2⟩× ⟨-1, 1, 0⟩)× ⟨0, 0, -4⟩ (a⃗× b⃗)× c⃗ = ⟨3* 0 - 2* 1, 2* (-1) - 3* (-1), 3* 1 - 1* (-1)⟩× ⟨0, 0, -4⟩ (a⃗× b⃗)× c⃗ = ⟨-2, -1, 4⟩× ⟨0, 0, -4⟩ (a⃗× b⃗)× c⃗ = ⟨-1* (-4) - 4* 0, 4* 0 - (-2)* (-4), -2* 0 - (-1)* 0⟩ (a⃗× b⃗)× c⃗ = ⟨4, 8, 0⟩ Portanto, a⃗× (⃗b× c⃗) = ⟨8, -16, 8⟩ e (a⃗× b⃗)× c⃗ = ⟨4, 8, 0⟩, o que mostra que a⃗× (⃗b× c⃗) é diferente de (a⃗× b⃗)× c⃗.

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Determine o produto vetorial a⃗ × b⃗ e verifique que ele é ortogonal a a⃗ e b⃗. Exemplo a⃗ = ⟨1, 2, 0⟩ , b⃗ = ⟨0, 3, 1⟩; Para verificar que c⃗ é ortogonal a a⃗ e b⃗, devemos verificar que: c⃗ · a⃗ = 0 e c⃗ · b⃗ = 0. Logo: c⃗ · a⃗ = ⟨2,−1, 3⟩ · ⟨1, 2, 0⟩ = 2 · 1− 1 · 2 + 3 · 0 = 0 c⃗ · b⃗ = ⟨2,−1, 3⟩ · ⟨0, 3, 1⟩ = 2 · 0− 3 · 1 + 1 · 3 = 0. Portanto, c⃗ é ortogonal a a⃗ e b⃗.

a) a⃗ = ⟨5, 1, 4⟩, b⃗ = ⟨−1, 0, 2⟩;
b) a⃗ = ı̂+ 3ȷ̂− 2k̂, b⃗ = −ı̂+ 5k̂;
c) a⃗ = ȷ̂+ 7k̂, b⃗ = 2ı̂− ȷ̂+ 4k̂.

Calcule a área do paralelogramo que tem os vetores u⃗ = (3, 2,−1) e v⃗ = (1, 2, 3) como lados adjacentes.
A 8√3 .
B 12√5 .
C 3√10 .
D 8√5 .
E 12.

Calcule a tal que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ = (3, 1,−1) e v⃗ = (a, 0, 2) seja igual a 2√6.
Calculamos a tal que A = 2√6.
Lembrando que área de um paralelogramo entre dois vetores u⃗ e v⃗ é dada por: A = ||u⃗ × v⃗||.

Geometria Analítica

Se a⃗ = ⟨3, 1, 2⟩, b⃗ = ⟨−1, 1, 0⟩ e c⃗ = ⟨0, 0,−4⟩, mostre que a⃗× (⃗b× c⃗) ≠ (⃗a× b⃗)× c⃗.

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Produto Vetorial e Ortogonalidade

Calcule a área do paralelogramo que tem os vetores u⃗ = (3, 2,−1) e v⃗ = (1, 2, 3) como lados adjacentes.A 8√3 .B 12√5 .C 3√10 .D 8√5 .E 12.

Calcule a tal que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ = (3, 1,−1) e v⃗ = (a, 0, 2) seja igual a 2√6.Calculamos a tal que A = 2√6.Lembrando que área de um paralelogramo entre dois vetores u⃗ e v⃗ é dada por: A = ||u⃗ × v⃗||.

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Calcule a área do paralelogramo que tem os vetores u⃗ = (3, 2,−1) e v⃗ = (1, 2, 3) como lados adjacentes.
A 8√3 .
B 12√5 .
C 3√10 .
D 8√5 .
E 12.

Calcule a tal que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ = (3, 1,−1) e v⃗ = (a, 0, 2) seja igual a 2√6.
Calculamos a tal que A = 2√6.
Lembrando que área de um paralelogramo entre dois vetores u⃗ e v⃗ é dada por: A = ||u⃗ × v⃗||.