Para determinar o vetor normal à superfície parametrizada \( j(u,v) = (v \cos u, v \sin u, 1 - v^2) \) em \( j(0,1) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular as derivadas parciais: - \( j_u = \frac{\partial j}{\partial u} = (-v \sin u, v \cos u, 0) \) - \( j_v = \frac{\partial j}{\partial v} = (\cos u, \sin u, -2v) \) 2. Avaliar as derivadas em \( (u,v) = (0,1) \): - \( j_u(0,1) = (-1 \cdot \sin(0), 1 \cdot \cos(0), 0) = (0, 1, 0) \) - \( j_v(0,1) = (\cos(0), \sin(0), -2 \cdot 1) = (1, 0, -2) \) 3. Calcular o vetor normal usando o produto vetorial: - O vetor normal \( N \) é dado por \( N = j_u \times j_v \). Calculando o produto vetorial: \[ N = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \cdot -2 - 0 \cdot 0) - \hat{j}(0 \cdot -2 - 0 \cdot 1) + \hat{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \] \[ N = (-2, 0, -1) \] Portanto, o vetor normal à superfície em \( j(0,1) \) é \( (-2, 0, -1) \). A resposta correta é: O vetor normal será (-2,0,-1).