Para determinar a série de Fourier da função \( f(x) = x \) no intervalo \([-π, π]\), seguimos os seguintes passos: 1. Identificação da função: A função \( f(x) = x \) é ímpar, o que significa que todos os coeficientes \( a_n \) (coeficientes de cosseno) serão zero. 2. Cálculo dos coeficientes \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] Como \( f(x) \) é ímpar, podemos simplificar a integral: \[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \] 3. Resolvendo a integral: Usando integração por partes, temos: \[ u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \] \[ dv = \sin(nx)dx \quad \Rightarrow \quad v = -\frac{1}{n} \cos(nx) \] Aplicando a integração por partes: \[ \int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) \bigg|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n} \int \cos(nx) \, dx \] O resultado da integral será: \[ b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \] 4. Série de Fourier: Como \( a_n = 0 \), a série de Fourier da função \( f(x) = x \) é dada por: \[ f(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) = \sum_{n=1, \text{ ímpar}}^{\infty} \frac{2(-1)^{(n-1)/2}}{n} \sin(nx) \] 5. Resultado final: A série de Fourier da função \( f(x) = x \) no intervalo \([-π, π]\) é: \[ f(x) \approx \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1, \text{ ímpar}}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} \] Assim, a resposta correta é: \[ f(x) \approx \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1, \text{ ímpar}}^{\infty} \sin(nx) \]